Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 80 mm и диаметром горловины 40 mm. Давление на входе на 41 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 41 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 250 mm, горловина 125 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 110 mm. Коэффициент расхода равен 0,99. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 110 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 2 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 2 L/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 13 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 13 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 36 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sH = 36 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 15 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 1,5 mn = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 48 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 48 m³/sb = 3,5 my = 2,2 mz = 1n = 0,012

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 353,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN

Ответ

F = 353,2 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,167 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,6667/(2·2) = 2,167 m

Ответ

y_cp = 2,167 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 11,75 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(40/80)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·41000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,352 m/s

v₁ = 2,338 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,001257·9,352 = 0,01175 m³/s = 11,75 L/s

Ответ

Q = 11,75 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 65,43 L/s

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,11 = 13597 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·13597/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,386 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,01227·5,386 = 0,06543 m³/s = 65,43 L/s

Ответ

Q = 65,43 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 3,49 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 3,49 m

Ответ

h_f = 3,49 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 67,34 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

13 = (14,67 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/17,57) = 3,81 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,81·0,01767 = 0,06734 m³/s = 67,34 L/s

Ответ

Q = 67,34 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 11,04 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·36 = 8,829 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,8 = 11,04 kW

Ответ

P_shaft = 11,04 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 22,06 m

Скорость

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 6)·0,1859 = 15,06 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 7 + 15,06 = 22,06 m

Ответ

H = 22,06 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 2,158 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·1,5 = 1,5 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,5 = 4 m

R = A/P = 0,375 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,375^2/3·0,0015^1/2 = 1,439 m/s

Расход

Q = A·V = 1,5·1,439 = 2,158 m³/s

Ответ

Q = 2,158 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001503 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·2,2)·2,2 = 12,54 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 9,723 m

R = A/P = 1,29 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·48/(12,54·1,185) = 0,03877

S = 0,03877² = 0,001503

Ответ

S = 0,001503

Это понижение на 1,503 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering