Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 17 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 100 mm до 75 mm. Давление в узком сечении равно 300 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 17 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 300 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 120 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 30 mm, расположенное на 2,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 120 kPa (избыточное)h = 2,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,9 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,9 m/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 400 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 38 m. КПД насоса 65%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 15 L/sH = 38 mη_pump = 65%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 300 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 0,9 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 4,5 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 8,6 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 8,6 m³/sb = 4,5 my = 1 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 98,1 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

Ответ

F = 98,1 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,519 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,25/(4,5·3) = 4,519 m

Ответ

y_cp = 4,519 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 305,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,017/0,007854 = 2,165 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,017/0,004418 = 3,848 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 300 + ½·1000·(3,848² − 2,165²)/1000 = 300 + 5,061 = 305,1 kPa

Ответ

p₁ = 305,1 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 17 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(120000/1000 + 9,81·2,5)) = 17 m/s

Ответ

v = 17 m/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 1261 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,05)·2,9²/(2·9,81) = 128,6 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·128,6 = 1,261 × 10⁶ Pa = 1261 kPa

Ответ

Δp = 1261 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 2,826 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Полная потеря напора

h_f = 20·0,102 = 2,04 m

h_m = 7,7·0,102 = 0,7855 m

Δz = h_f + h_m = 2,826 m

Ответ

Δz = 2,826 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 9,351 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·38 = 5,592 kW

Мощность на валу

P_shaft = 5,592/0,65 = 8,603 kW

Электрическая мощность

P_el = 8,603/0,92 = 9,351 kW

Ответ

P_el = 9,351 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 42,72 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 5)·0,1354 = 2,139 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 30,58 + 2,139 = 42,72 m

Ответ

H = 42,72 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,781 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·0,9 = 0,9 m²

P = b + 2y = 1 + 2·0,9 = 2,8 m

R = A/P = 0,3214 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,3214^2/3·0,004^1/2 = 1,978 m/s

Расход

Q = A·V = 0,9·1,978 = 1,781 m³/s

Ответ

Q = 1,781 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001485 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1)·1 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 8,106 m

R = A/P = 0,7402 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·8,6/(6·0,8183) = 0,03854

S = 0,03854² = 0,001485

Ответ

S = 0,001485

Это понижение на 1,485 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering