Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 2,5 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 1,5 mH = 1 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
12d1​ = 75 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm. В широкой части давление 280 kPa, а скорость 2 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в узкой части.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 280 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Неразрывность и БернуллиСложная
pair​ = 60 kPaQ = ?d = 50 mmh = 2 m

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 60 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 50 mm, расположенное на 2 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

pair = 60 kPa (избыточное)h = 2 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
V = 1,1 m/sD = 75 mmL = 150 mf = 0,02

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,1 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 2Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0,023× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 30 L/sH = 36 m

При испытании насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 36 m, а мощность на его валу 14,7 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 30 L/sH = 36 mPshaft = 14,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
300 kPa (избыточное)PQ = 80 L/sΔz = 21 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 5

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 21 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 300 kPa
H = m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 6 my = 0,9 m2 : 1n = 0,012, S = 0,002

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 0,9 mz = 2n = 0,012S = 0,002
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
b = 5 my = 1,8 mn = 0,022, Q = 19 m³/s

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 5 m должен пропускать 19 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 19 m³/sb = 5 my = 1,8 mn = 0,022
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 176,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
затворd = 2,5 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Ответ

F = 176,6 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: ycp = 2,042 m

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
затворd = 1,5 mH = 1 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·3 = 60,33 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,25/(2·3) = 2,042 m

Ответ

ycp = 2,042 m
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 257,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 280 + (−22,72) = 257,3 kPa

Ответ

p2 = 257,3 kPa
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 24,78 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(60000/1000 + 9,81·2)) = 12,62 m/s

Расход

Q = A·v = 0,001963·12,62 = 0,02478 m³/s = 24,78 L/s

Ответ

Q = 24,78 L/s
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 24,2 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,075)·1,1²/(2·9,81) = 2,467 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,467 = 24200 Pa = 24,2 kPa

Ответ

Δp = 24,2 kPa
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 1,079 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Полная потеря напора

hf = 16·0,05288 = 0,8461 m
hm = 4,4·0,05288 = 0,2327 m
Δz = hf + hm = 1,079 m

Ответ

Δz = 1,079 m
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 72,07 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·36 = 10,59 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 10,59/14,7 = 72,07%

Ответ

η = 72,07%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 60,67 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 5)·0,3305 = 9,089 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 30,58 + 9,089 = 60,67 m

Ответ

H = 60,67 m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 20,63 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·0,9)·0,9 = 7,02 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 10,02 m
R = A/P = 0,7003 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,70032/3·0,0021/2 = 2,939 m/s

Расход

Q = A·V = 7,02·2,939 = 20,63 m³/s

Ответ

Q = 20,63 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,00203 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 5·1,8 = 9 m²
P = b + 2y = 5 + 2·1,8 = 8,6 m
R = A/P = 1,047 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·19/(9·1,031) = 0,04506
S = 0,04506² = 0,00203

Ответ

S = 0,00203

Это понижение на 2,03 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering