Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €500 в конце каждого года в течение 8 лет. Процентная ставка — 4 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €500i = 4%n = 8

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 19? Найдите остаток долга B.

P = €250 0003% / 12N = 300k = 228

B = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 10 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 171 при доходности к погашению 3%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 10P = €1 171YTM = 3%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 16 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) продаётся за €1 202. Эмитент может досрочно погасить её через 5 лет по цене отзыва €1 080. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 8%P = €1 202цена отзыва = €1 080отзыв через 5 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €21,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €28 000, €36 000, €15 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 36 000CF₃ = 15 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €27 500, €18 000, €19 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 18 000CF₃ = 19 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3366 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7307)/0,04 = 6,733

Приведённая стоимость

PV = 500·6,733 = €3 366,37

Ответ

PV = €3 366,37

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 78028 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 300

A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁰⁰) = €1 185,53

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 228 = 72

B = 1186·(1 − (1 + 0,0025)⁻⁷²)/0,0025 = €78 027,75

Ответ

B = €78 027,75

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 5,005 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁰ = €744,09

Купон

C = (1171 − 744,09)/8,53 = €50,05

Купонная ставка

c = 50,05/1000 = 5,005%

Ответ

c = 5,005%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 4,812 %

Уравнение для доходности

1202 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Численное решение

y = 4%: €1 243,83

y = 5%: €1 192,57

YTC = 4,812%

Ответ

YTC = 4,812%

Доходность к погашению равна 6,001%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,95 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·14% + 0,375·4%·(1 − 0,2) = 9,95%

Ответ

WACC = 9,95%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,566 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€21,00 = €84 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·6% = 9,8%

Веса

V = €124 800 000, E/V = 0,6731, D/V = 0,3269

WACC

WACC = 0,6731·9,8% + 0,3269·4%·(1 − 0,258) = 7,566%

Ответ

WACC = 7,566%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −10624 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 28 000/1,12 = 25 000,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 36 000/1,254 = 28 698,98

CF₃/(1 + 0,12)³ = 15 000/1,405 = 10 676,70

Сложите

NPV = €−10 624,32

Ответ

NPV = €−10 624,32

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 15,45 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(15%) = 345,20

NPV(20%) = −3 298,61

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 15 + 5·345,20/(345,20 − (−3 298,61)) = 15,47%

точно: NPV(15,45%) = 0 → IRR = 15,45%

Ответ

IRR = 15,45%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation