В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 9 лет.
PV = €8 0003% / 12n = 9
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 16 лет вам нужно €25 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €25 0004,8% / 12N = 192
A = €
3.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 6 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4,5%) при доходности к погашению 5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 4%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4,5%n = 6y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
4.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 5 лет и продаётся за €960. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €960
YTM = %
5.CAPM и WACCСредняя
Собственный капитал компании стоит €3 000 000, долг — €2 000 000. Её WACC равна 6,53%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Найдите стоимость собственного капитала re.
Бета акций компании равна 1,3 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,6. Ставка налога — 25,8%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 6,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €14 500, €15 000, €13 500, €15 500, €19 500, €19 500 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 12 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €10 000 и приносит €3 500, €5 000, €5 000, €4 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 8 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Численное решение
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,029%
Ответ
YTM = 9,029%
5.CAPM и WACC
Ответ: re = 8,003 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Долговая часть WACC
0,4·6%·(1 − 0,28) = 1,728%
Стоимость собственного капитала
re = (6,53% − 1,728%)/0,6 = 8,003%
Ответ
re = 8,003%
6.CAPM и WACC
Ответ: re = 10,92 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,3/(1 + 0,742·0,4) = 1,002
Пересчёт при новом D/E
βL = 1,002·(1 + 0,742·0,6) = 1,449
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 1,5% + 1,449·6,5% = 10,92%
Ответ
re = 10,92%
7.NPV и IRR
Ответ: DPB = 5,463 годы
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 14 500/1,12 = 12 946,43 → Σ = 12 946,43
год 2: 15 000/1,254 = 11 957,91 → Σ = 24 904,34
год 3: 13 500/1,405 = 9 609,03 → Σ = 34 513,37
год 4: 15 500/1,574 = 9 850,53 → Σ = 44 363,90
год 5: 19 500/1,762 = 11 064,82 → Σ = 55 428,72
год 6: 19 500/1,974 = 9 879,31 → Σ = 65 308,03
Доля последнего года
DPB = 5 + 4 571,28/9 879,31 = 5,463
Ответ
DPB = 5,463 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (4,077 лет).
8.NPV и IRR
Ответ: MIRR = 18,38 %
Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.