Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 3 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €40 0004% / 12n = 3

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €150 в конце каждого месяца в течение 21 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1503% / 12N = 252

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 4 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 5,5%n = 4

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 3%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 6%n = 4YTM = 3%

D = годы

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,75. Стоимость её собственного капитала — 12%, стоимость долга до налогов — 5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,75r_e = 12%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €26,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 1,5%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €6 000, €8 000, €8 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €10 000 и приносит €5 500, €4 000, €2 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €12 000 и приносит €3 000, €5 000, €6 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 6 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 35484 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·3 = 36

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,127 = €35 483,90

Ответ

PV = €35 483,90

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 52568 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·21 = 252

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,876 − 1)/0,0025 = €52 568,10

Ответ

FV = €52 568,10

Сами вы внесли €37 800; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1089 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €40,00, i = 0,0275, N = 8

Приведённая стоимость купонов

€40,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €283,77

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8049 = €804,91

Цена

P = €1 088,68

Ответ

P = €1 088,68

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 3,692 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 60/1,03 = 58,25, t·PV = 58,25

t = 2: 60/1,061 = 56,56, t·PV = 113,11

t = 3: 60/1,093 = 54,91, t·PV = 164,73

t = 4: 1060/1,126 = 941,80, t·PV = 3 767,19

Дюрация

P = 1 111,51

D = 4 103,27/1 111,51 = 3,692

Ответ

D = 3,692 годы

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,447 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·5%·(1 − 0,258) = 8,447%

Ответ

WACC = 8,447%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,759 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€26,00 = €104 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,8·5,5% = 5,9%

Веса

V = €108 900 000, E/V = 0,955, D/V = 0,045

WACC

WACC = 0,955·5,9% + 0,045·3,5%·(1 − 0,21) = 5,759%

Ответ

WACC = 5,759%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −118,8 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 6 000/1,05 = 5 714,29

CF₂/(1 + 0,05)² = 8 000/1,103 = 7 256,24

CF₃/(1 + 0,05)³ = 8 000/1,158 = 6 910,70

Сложите

NPV = €−118,78

Ответ

NPV = €−118,78

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 4,802 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 6 500 − 2 500 = 4 000

IRR разности

NPV_Δ(4%) = 76,70

NPV_Δ(5%) = −18,57

r* = 4,802%

Ответ

r* = 4,802%

Проверка: при 4,802% обе NPV равны €1 061,73.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation