Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 17,5 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 17,5%m = 4

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 30 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5007,2% / 12N = 360

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 3

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 8% двумя полугодовыми платежами и погашается через 7 лет. Она продаётся за €949. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 8% (2×)n = 7P = €949

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €6 000 000, долг — €1 000 000. Её WACC равна 10,71%, стоимость долга до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 10,71%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €26,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 6%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €14 500, €17 000, €15 000, €17 000, €9 500 в конце годов с 1-го по 5-й. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 17 000CF₃ = 15 000CF₄ = 17 000CF₅ = 9 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €15 500, €29 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 29 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 18,68 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,175/4 = 0,04375

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,04375)⁴ − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%

Ответ

EAR = 18,68%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 634613 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·30 = 360

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(8,615 − 1)/0,006 = €634 612,72

Ответ

FV = €634 612,72

Сами вы внесли €180 000; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1028 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €20,00, i = 0,015, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€20,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €113,94

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,9145 = €914,54

Цена

P = €1 028,49

Ответ

P = €1 028,49

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,998 %

За период

C = €40,00, N = 14

Численное решение

i = 4,499% за полгода

YTM

YTM = 2·4,499% = 8,998%

Ответ

YTM = 8,998%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Долговая часть WACC

0,1429·4%·(1 − 0,25) = 0,4286%

Стоимость собственного капитала

r_e = (10,71% − 0,4286%)/0,8571 = 12%

Ответ

r_e = 12%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,359 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€26,00 = €130 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·5% = 5,5%

Веса

V = €170 000 000, E/V = 0,7647, D/V = 0,2353

WACC

WACC = 0,7647·5,5% + 0,2353·7%·(1 − 0,3) = 5,359%

Ответ

WACC = 5,359%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 2,889 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 14 500/1,06 = 13 679,25 → Σ = 13 679,25

год 2: 17 000/1,124 = 15 129,94 → Σ = 28 809,18

год 3: 15 000/1,191 = 12 594,29 → Σ = 41 403,47

Доля последнего года

DPB = 2 + 11 190,82/12 594,29 = 2,889

Ответ

DPB = 2,889 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,567 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 7,411 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 1 519,27

NPV(10%) = −1 528,93

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 519,27/(1 519,27 − (−1 528,93)) = 7,492%

точно: NPV(7,411%) = 0 → IRR = 7,411%

Ответ

IRR = 7,411%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation