Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под 3 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 15 лет.

PV = €1 000r = 3%t = 15

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €10 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €250 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €10 000A = €2504,8% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) при доходности к погашению 9%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 10%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 11y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 17 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) продаётся за €1 176. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 060. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 6%P = €1 176цена отзыва = €1 060отзыв через 6 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €2 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,4 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,5. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 3,5%, рыночная премия за риск — 6%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,5T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €16 500, €12 000, €17 000, €16 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 12 000CF₃ = 17 000CF₄ = 16 000

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €7 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €7 000g = 5%n = 10r = 10%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1568 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,03·15 = 0,45

e^0,45 = 1,568

Будущая стоимость

FV = 1 000·1,568 = €1 568,31

Ответ

FV = €1 568,31

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 44 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,004/250 = 0,84

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,84)/ln(1,004) = 43,68

Округляем вверх до целых платежей

После 43 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 44

Ответ

N = 44 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 2,7 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €80,00, i = 0,09, N = 11

€80,00·(1 − 0,3875)/0,09 + €1 000·0,3875 = €544,42 + €387,53 = €931,95

Цена продажи

C = €80,00, i = 0,1, N = 10

€80,00·(1 − 0,3855)/0,1 + €1 000·0,3855 = €491,57 + €385,54 = €877,11

Доходность за период владения

HPR = (80 + 877,11 − 931,95)/931,95 = 2,7%

Ответ

HPR = 2,7%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 3,6 %

Уравнение для доходности

1176 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 3%: €1 212,76

y = 4%: €1 152,26

YTC = 3,6%

Ответ

YTC = 3,6%

Доходность к погашению равна 4,497%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,107 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10% + 0,3333·6%·(1 − 0,28) = 8,107%

Ответ

WACC = 8,107%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 16,95 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,4/(1 + 0,7·0,4) = 1,094

Пересчёт при новом D/E

β_L = 1,094·(1 + 0,7·1,5) = 2,242

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,242·6% = 16,95%

Ответ

r_e = 16,95%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,211 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 16 500/1,1 = 15 000,00 → Σ = 15 000,00

год 2: 12 000/1,21 = 9 917,36 → Σ = 24 917,36

год 3: 17 000/1,331 = 12 772,35 → Σ = 37 689,71

год 4: 16 000/1,464 = 10 928,22 → Σ = 48 617,92

Доля последнего года

DPB = 3 + 2 310,29/10 928,22 = 3,211

Ответ

DPB = 3,211 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,676 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −27921 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,1))¹⁰ = 0,628

PV = 7 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,628) = 52 078,69

NPV

NPV = 52 078,69 − 80 000 = −€27 921,31

Ответ

NPV = −€27 921,31

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation