Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 8 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €25 0003% / 4n = 8

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 27 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 4 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 27? Найдите FV.

A = €2 000i = 4%n = 27

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 12

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 3 лет и продаётся за €960. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 3P = €960

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,4. Стоимость её собственного капитала — 11%, стоимость долга до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,4r_e = 11%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1,1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,4. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1,1D/E = 0,4T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €100 000 сегодня. Он приносит €3 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €3 000g = 4%r = 8%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €14 000, €9 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 9 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 19683 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·8 = 32

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,27 = €19 683,32

Ответ

PV = €19 683,32

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 97935 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,04)²⁷ − 1)/0,04 = 47,08

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·47,08·1,04 = €97 935,17

Ответ

FV = €97 935,17

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 955,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €22,50, i = 0,025, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€22,50·(1 − 0,5529)/0,025 = €402,41

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5529 = €552,88

Цена

P = €955,29

Ответ

P = €955,29

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,482 %

Уравнение для доходности

€960 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(5%) = €972,77, P(6%) = €946,54

YTM = 5,482%

Ответ

YTM = 5,482%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,599 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·11% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,258) = 8,599%

Ответ

WACC = 8,599%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 7,808 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1,1·(1 + 0,8·0,4) = 1,452

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,452·4% = 7,808%

Ответ

r_e = 7,808%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −25000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 3 000/(0,08 − 0,04) = 75 000,00

NPV

NPV = 75 000,00 − 100 000 = −€25 000,00

Ответ

NPV = −€25 000,00

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 10,66 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 165,29

NPV(15%) = −1 020,79

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·165,29/(165,29 − (−1 020,79)) = 10,7%

точно: NPV(10,66%) = 0 → IRR = 10,66%

Ответ

IRR = 10,66%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation