Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 22 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 22%m = 365

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 17 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2003% / 12N = 204

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 8 лет. Её доходность к погашению меняется с 5% до 7%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 6%n = 8y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) продаётся за €1 202. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 080. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 8%P = €1 202цена отзыва = €1 080отзыв через 6 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1,2. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 1,5. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 4%, рыночная премия за риск — 6%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1,2D/E = 1,5T = 25%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €100 000 сегодня. Он приносит €20 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €25 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF = €20 500S = €25 000n = 6r = 6%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €36 500 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 6. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €36 500g = 3%n = 6r = 8%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 24,6 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,22/365 = 0,0006027

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0006027)³⁶⁵ − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%

Ответ

EAR = 24,6%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 53139 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·17 = 204

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,664 − 1)/0,0025 = €53 138,53

Ответ

FV = €53 138,53

Сами вы внесли €40 800; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −124,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €60,00, i = 0,05, N = 8

€60,00·(1 − 0,6768)/0,05 + €1 000·0,6768 = €387,79 + €676,84 = €1 064,63

Цена при новой доходности

C = €60,00, i = 0,07, N = 8

€60,00·(1 − 0,582)/0,07 + €1 000·0,582 = €358,28 + €582,01 = €940,29

Изменение

ΔP = 940,29 − 1 064,63 = −€124,35

Ответ

ΔP = −€124,35

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 5,17 %

Уравнение для доходности

1202 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 5%: €1 211,97

y = 6%: €1 154,74

YTC = 5,17%

Ответ

YTC = 5,17%

Доходность к погашению равна 5,503%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,938 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·9% + 0,1667·3,5%·(1 − 0,25) = 7,938%

Ответ

WACC = 7,938%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 19,3 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1,2·(1 + 0,75·1,5) = 2,55

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 2,55·6% = 19,3%

Ответ

r_e = 19,3%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 18429 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

20 500·4,917 = 100 805,15

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

25 000/1,419 = 17 624,01

NPV

NPV = −100 000 + 100 805,15 + 17 624,01 = €18 429,16

Ответ

NPV = €18 429,16

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −19293 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,08))⁶ = 0,7525

PV = 36 500/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,7525) = 180 707,49

NPV

NPV = 180 707,49 − 200 000 = −€19 292,51

Ответ

NPV = −€19 292,51

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation