Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €5 000 в конце каждого года в течение 20 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €5 000i = 5%n = 20

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €1 000 в начале каждого года в течение 12 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 6 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 12? Найдите FV.

A = €1 000i = 6%n = 12

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 8% и погашается через 10 лет. Её доходность к погашению меняется с 7% до 8,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 8%n = 10y₁ = 7%y₂ = 8,5%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €955 при доходности к погашению 5% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 5,4 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 50 базисных пунктов.

P₀ = €955y = 5%D = 5,4Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций, торгующихся по €45,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €18 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,20 на акцию, дивиденды растут на 3% в год. Рыночная стоимость её долга — €22 500 000, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 1 000 000P₀ = €45,00балансовый собственный капитал = €18 000 000D₀ = €2,20g = 3%D = €22 500 000r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €33 000, €30 000, €18 000, €21 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 30 000CF₃ = 18 000CF₄ = 21 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €13 000, €8 500, €14 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 8 500CF₃ = 14 000

MIRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 62311 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3769)/0,05 = 12,46

Приведённая стоимость

PV = 5 000·12,46 = €62 311,05

Ответ

PV = €62 311,05

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 17882 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,06)¹² − 1)/0,06 = 16,87

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 1 000·16,87·1,06 = €17 882,14

Ответ

FV = €17 882,14

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −103 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 + €1 000·0,5083 = €561,89 + €508,35 = €1 070,24

Цена при новой доходности

C = €80,00, i = 0,085, N = 10

€80,00·(1 − 0,4423)/0,085 + €1 000·0,4423 = €524,91 + €442,29 = €967,19

Изменение

ΔP = 967,19 − 1 070,24 = −€103,04

Ответ

ΔP = −€103,04

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 930,4 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 5,4/1,05 = 5,143

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −5,143·(0,005) = −2,571%

P ≈ 955·(1 − 0,02571) = €930,44

Ответ

P = €930,44

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,06 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·14% + 0,25·3%·(1 − 0,258) = 11,06%

Ответ

WACC = 11,06%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,857 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2,2·1,03 = €2,27

r_e = 2,266/45 + 0,03 = 8,036%

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€45,00 = €45 000 000

V = €67 500 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8,036% + 0,3333·6%·(1 − 0,25) = 6,857%

Ответ

WACC = 6,857%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 14579 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 33 000/1,06 = 31 132,08

CF₂/(1 + 0,06)² = 30 000/1,124 = 26 699,89

CF₃/(1 + 0,06)³ = 18 000/1,191 = 15 113,15

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 21 000/1,262 = 16 633,97

Сложите

NPV = €14 579,08

Ответ

NPV = €14 579,08

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 16,06 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

13 000·1,1² = 15 730,00

8 500·1,1¹ = 9 350,00

14 000·1,1⁰ = 14 000,00

TV = 39 080,00

MIRR

MIRR = (39 080,00/25 000)^1/3 − 1 = 16,06%

Ответ

MIRR = 16,06%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation