Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €500 в конце каждого года в течение 9 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €500i = 5%n = 9

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €15 0004,2% / 12N = 48

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 5%n = 6

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 5 лет и продаётся за €1 070. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 3%n = 5P = €1 070

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €3 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,4 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,2. Компания планирует увеличить это соотношение до 1. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 4%, рыночная премия за риск — 6,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €7 000, €6 000, €9 000, €8 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €6 500, €9 500, €8 000, €6 500 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 500CF₂ = 9 500CF₃ = 8 000CF₄ = 6 500

MIRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3554 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6446)/0,05 = 7,108

Приведённая стоимость

PV = 500·7,108 = €3 553,91

Ответ

PV = €3 553,91

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 340 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·4 = 48

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8456

A = 15 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €340,03

Ответ

A = €340,03

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1051 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,025, N = 12

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €307,73

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7436 = €743,56

Цена

P = €1 051,29

Ответ

P = €1 051,29

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 1,535 %

Уравнение для доходности

€1 070 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Численное решение

P(1%) = €1 097,07, P(2%) = €1 047,13

YTM = 1,535%

Ответ

YTM = 1,535%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,37 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,21) = 6,37%

Ответ

WACC = 6,37%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 17,57 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,4/(1 + 0,7·0,2) = 1,228

Пересчёт при новом D/E

β_L = 1,228·(1 + 0,7·1) = 2,088

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 2,088·6,5% = 17,57%

Ответ

r_e = 17,57%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 4650 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 7 000/1,08 = 6 481,48

CF₂/(1 + 0,08)² = 6 000/1,166 = 5 144,03

CF₃/(1 + 0,08)³ = 9 000/1,26 = 7 144,49

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 8 000/1,36 = 5 880,24

Сложите

NPV = €4 650,24

Ответ

NPV = €4 650,24

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 16,24 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

6 500·1,12³ = 9 132,03

9 500·1,12² = 11 916,80

8 000·1,12¹ = 8 960,00

6 500·1,12⁰ = 6 500,00

TV = 36 508,83

MIRR

MIRR = (36 508,83/20 000)^1/4 − 1 = 16,24%

Ответ

MIRR = 16,24%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation