Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 3 лет.

PV = €12 0003,6% / 12n = 3

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €150 в конце каждого месяца в течение 16 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1506% / 12N = 192

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 5 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 130 при доходности к погашению 5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 5P = €1 130YTM = 5%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €910 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 11,2 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 100 базисных пунктов.

P₀ = €910y = 6%D = 11,2Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €5 000 000, долг — €3 000 000. Её WACC равна 8,23%, стоимость долга до налогов — 4,5%, ставка налога — 20%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 8,23%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €52,00 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 6,5%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €22 000, €14 000, €13 000, €13 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €40 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 5. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €40 000g = 5%n = 5r = 8%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 13366 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·3 = 36

Будущая стоимость

FV = 12 000·(1 + 0,003)³⁶ = 12 000·1,114 = €13 366,41

Ответ

FV = €13 366,41

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 48164 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·16 = 192

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,605 − 1)/0,005 = €48 163,70

Ответ

FV = €48 163,70

Сами вы внесли €28 800; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 8,003 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,05)⁻⁵ = €783,53

Купон

C = (1130 − 783,53)/4,329 = €80,03

Купонная ставка

c = 80,03/1000 = 8,003%

Ответ

c = 8,003%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 813,8 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 11,2/1,06 = 10,57

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −10,57·(0,01) = −10,57%

P ≈ 910·(1 − 0,1057) = €813,85

Ответ

P = €813,85

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 11,01 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

Долговая часть WACC

0,375·4,5%·(1 − 0,2) = 1,35%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8,23% − 1,35%)/0,625 = 11,01%

Ответ

r_e = 11,01%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,596 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€52,00 = €104 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·4,5% = 7,85%

Веса

V = €113 800 000, E/V = 0,9139, D/V = 0,08612

WACC

WACC = 0,9139·7,85% + 0,08612·7%·(1 − 0,3) = 7,596%

Ответ

WACC = 7,596%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 6215 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 22 000/1,09 = 20 183,49

CF₂/(1 + 0,09)² = 14 000/1,188 = 11 783,52

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 13 000/1,412 = 9 209,53

Сложите

NPV = €6 214,92

Ответ

NPV = €6 214,92

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −24821 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,08))⁵ = 0,8686

PV = 40 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8686) = 175 178,95

NPV

NPV = 175 178,95 − 200 000 = −€24 821,05

Ответ

NPV = −€24 821,05

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation