Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €1 500 в конце каждого года в течение 17 лет. Процентная ставка — 6 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €1 500i = 6%n = 17

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 12 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1004,2% / 12N = 144

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 7 лет. Её доходность к погашению меняется с 3% до 4%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 4%n = 7y₁ = 3%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 4 лет и продаётся за €965. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 4P = €965

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €8 000 000, долг — €2 000 000. Её WACC равна 10,27%, стоимость долга до налогов — 4,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 10,27%r_d = 4,5%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €23,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €30 000, €33 000, €22 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 30 000CF₂ = 33 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 500, €5 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 15716 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3714)/0,06 = 10,48

Приведённая стоимость

PV = 1 500·10,48 = €15 715,89

Ответ

PV = €15 715,89

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 18682 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·12 = 144

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,654 − 1)/0,0035 = €18 682,10

Ответ

FV = €18 682,10

Сами вы внесли €14 400; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −62,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €40,00, i = 0,03, N = 7

€40,00·(1 − 0,8131)/0,03 + €1 000·0,8131 = €249,21 + €813,09 = €1 062,30

Цена при новой доходности

C = €40,00, i = 0,04, N = 7

€40,00·(1 − 0,7599)/0,04 + €1 000·0,7599 = €240,08 + €759,92 = €1 000,00

Изменение

ΔP = 1 000,00 − 1 062,30 = −€62,30

Ответ

ΔP = −€62,30

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,034 %

Уравнение для доходности

€965 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Численное решение

P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76

YTM = 7,034%

Ответ

YTM = 7,034%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Долговая часть WACC

0,2·4,5%·(1 − 0,258) = 0,6678%

Стоимость собственного капитала

r_e = (10,27% − 0,6678%)/0,8 = 12%

Ответ

r_e = 12%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,13 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€23,50 = €47 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·4% = 6,7%

Веса

V = €56 600 000, E/V = 0,8304, D/V = 0,1696

WACC

WACC = 0,8304·6,7% + 0,1696·4,5%·(1 − 0,258) = 6,13%

Ответ

WACC = 6,13%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2714 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 30 000/1,09 = 27 522,94

CF₂/(1 + 0,09)² = 33 000/1,188 = 27 775,44

CF₃/(1 + 0,09)³ = 22 000/1,295 = 16 988,04

Сложите

NPV = €−2 713,59

Ответ

NPV = €−2 713,59

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 6,596 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 226,76

NPV(10%) = −454,55

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·226,76/(226,76 − (−454,55)) = 6,664%

точно: NPV(6,596%) = 0 → IRR = 6,596%

Ответ

IRR = 6,596%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation