Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 8 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 19 лет.

PV = €5 000r = 8%t = 19

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €8 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €8 0002,4% / 12N = 60

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 5,5%n = 11

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 3 лет. Доходность к погашению — 8%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 4%n = 3YTM = 8%

D = годы

5.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €8 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость привилегированного капитала — 7%, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 12%r_p = 7%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций, торгующихся по €59,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €95 200 000. Она только что выплатила дивиденд €1,70 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €119 000 000, стоимость долга до налогов — 3%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 4 000 000P₀ = €59,50балансовый собственный капитал = €95 200 000D₀ = €1,70g = 5%D = €119 000 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €21 000, €25 000, €29 000, €18 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 25 000CF₃ = 29 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €25 000 приносит €6 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €25 000CF = €6 000n = 6

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 22861 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,08·19 = 1,52

e^1,52 = 4,572

Будущая стоимость

FV = 5 000·4,572 = €22 861,13

Ответ

FV = €22 861,13

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 141,6 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,887

A = 8 000·0,002/(1 − 0,887) = €141,63

Ответ

A = €141,63

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1123 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,0275, N = 22

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,5506)/0,0275 = €572,02

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5506 = €550,55

Цена

P = €1 122,58

Ответ

P = €1 122,58

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 2,879 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 40/1,08 = 37,04, t·PV = 37,04

t = 2: 40/1,166 = 34,29, t·PV = 68,59

t = 3: 1040/1,26 = 825,59, t·PV = 2 476,76

Дюрация

P = 896,92

D = 2 582,38/896,92 = 2,879

Ответ

D = 2,879 годы

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,556 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 8 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €13 500 000

E/V = 0,5926, P_s/V = 0,03704, D/V = 0,3704

WACC

WACC = 0,5926·12% + 0,03704·7% + 0,3704·4%·(1 − 0,2) = 8,556%

Ответ

WACC = 8,556%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,123 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 1,7·1,05 = €1,78

r_e = 1,785/59,5 + 0,05 = 8%

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€59,50 = €238 000 000

V = €357 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·3%·(1 − 0,21) = 6,123%

Ответ

WACC = 6,123%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 18867 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 21 000/1,07 = 19 626,17

CF₂/(1 + 0,07)² = 25 000/1,145 = 21 835,97

CF₃/(1 + 0,07)³ = 29 000/1,225 = 23 672,64

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 18 000/1,311 = 13 732,11

Сложите

NPV = €18 866,89

Ответ

NPV = €18 866,89

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 11,53 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 25 000/6 000 = 4,167

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 11%: 4,231

i = 12%: 4,111

IRR = 11,53%

Ответ

IRR = 11,53%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation