Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €3 0004% / 12n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 9 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 7 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 9? Найдите FV.

A = €2 500i = 7%n = 9

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 3%n = 8

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 095 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 11,7 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 100 базисных пунктов.

P₀ = €1 095y = 6%D = 11,7Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €5 000 000, долг — €2 000 000. Её WACC равна 9,6%, стоимость долга до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 9,6%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций, торгующихся по €27,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €11 000 000. Она только что выплатила дивиденд €1,10 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €27 500 000, стоимость долга до налогов — 3%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 1 000 000P₀ = €27,50балансовый собственный капитал = €11 000 000D₀ = €1,10g = 5%D = €27 500 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €35 000, €30 000, €22 000, €16 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 35 000CF₂ = 30 000CF₃ = 22 000CF₄ = 16 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €6 500, €5 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 3249 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·2 = 24

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,003333)²⁴ = 3 000·1,083 = €3 249,43

Ответ

FV = €3 249,43

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 32041 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,07)⁹ − 1)/0,07 = 11,98

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 500·11,98·1,07 = €32 041,12

Ответ

FV = €32 041,12

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 929,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,015, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,788)/0,015 = €141,31

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,788 = €788,03

Цена

P = €929,34

Ответ

P = €929,34

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1216 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 11,7/1,06 = 11,04

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −11,04·(−0,01) = 11,04%

P ≈ 1095·(1 + 0,1104) = €1 215,86

Ответ

P = €1 215,86

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Долговая часть WACC

0,2857·5%·(1 − 0,28) = 1,029%

Стоимость собственного капитала

r_e = (9,6% − 1,029%)/0,7143 = 12%

Ответ

r_e = 12%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,785 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 1,1·1,05 = €1,16

r_e = 1,155/27,5 + 0,05 = 9,2%

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€27,50 = €27 500 000

V = €55 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9,2% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,785%

Ответ

WACC = 5,785%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 15864 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 35 000/1,06 = 33 018,87

CF₂/(1 + 0,06)² = 30 000/1,124 = 26 699,89

CF₃/(1 + 0,06)³ = 22 000/1,191 = 18 471,62

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 16 000/1,262 = 12 673,50

Сложите

NPV = €15 863,88

Ответ

NPV = €15 863,88

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 13,47 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 454,55

NPV(15%) = −189,04

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%

точно: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%

Ответ

IRR = 13,47%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation