Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €8 0004% / 4n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 27 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2007,2% / 12N = 324

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 5 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 3%) при доходности к погашению 7%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 8%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 3%n = 5y₀ = 7%y₁ = 8%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 6 лет и продаётся за €1 075. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 6P = €1 075

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 1,5. Стоимость её собственного капитала — 13%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

D/E = 1,5r_e = 13%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €17,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 28%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 9%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €26 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €26 000g = 4%r = 12%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €10 000 приносит €2 500 в конце каждого года в течение 10 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 11000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

Будущая стоимость

FV = 8 000·(1 + 0,01)³² = 8 000·1,375 = €10 999,53

Ответ

FV = €10 999,53

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 198206 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·27 = 324

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(6,946 − 1)/0,006 = €198 205,85

Ответ

FV = €198 205,85

Сами вы внесли €64 800; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 3,397 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €30,00, i = 0,07, N = 5

€30,00·(1 − 0,713)/0,07 + €1 000·0,713 = €123,01 + €712,99 = €835,99

Цена продажи

C = €30,00, i = 0,08, N = 4

€30,00·(1 − 0,735)/0,08 + €1 000·0,735 = €99,36 + €735,03 = €834,39

Доходность за период владения

HPR = (30 + 834,39 − 835,99)/835,99 = 3,397%

Ответ

HPR = 3,397%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,499 %

Уравнение для доходности

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,499%

Ответ

YTM = 5,499%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,9 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·13% + 0,6·6%·(1 − 0,25) = 7,9%

Ответ

WACC = 7,9%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,24 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€17,50 = €35 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·6% = 6,6%

Веса

V = €45 500 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·6,6% + 0,2308·7%·(1 − 0,28) = 6,24%

Ответ

WACC = 6,24%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 75000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 26 000/(0,12 − 0,04) = 325 000,00

NPV

NPV = 325 000,00 − 250 000 = €75 000,00

Ответ

NPV = €75 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 21,41 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 10 000/2 500 = 4

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 21%: 4,054

i = 22%: 3,923

IRR = 21,41%

Ответ

IRR = 21,41%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation