Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €5 000 в конце каждого года в течение 16 лет. Процентная ставка — 10 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €5 000i = 10%n = 16

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €15 000 под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €300 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €15 000A = €3004,2% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 7% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 8

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 6 лет. Доходность к погашению — 8%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 4,5%n = 6YTM = 8%

D = годы

5.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €10 000 000, привилегированными акциями стоимостью €2 000 000 и долгом стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 7%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €25,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 8,5%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €40 000 сегодня, служит 5 лет, а его эксплуатация обходится в €3 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 10 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 5r = 10%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €20 000 и приносит €11 500, €8 000, €4 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €25 000 и приносит €6 500, €9 500, €14 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 000B: −25 000, 6 500, 9 500, 14 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 39119 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2176)/0,1 = 7,824

Приведённая стоимость

PV = 5 000·7,824 = €39 118,54

Ответ

PV = €39 118,54

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 56 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,0035/300 = 0,825

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,825)/ln(1,004) = 55,06

Округляем вверх до целых платежей

После 55 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 56

Ответ

N = 56 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1060 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €40,00, i = 0,035, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€40,00·(1 − 0,5767)/0,035 = €483,76

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5767 = €576,71

Цена

P = €1 060,47

Ответ

P = €1 060,47

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 5,324 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 45/1,08 = 41,67, t·PV = 41,67

t = 2: 45/1,166 = 38,58, t·PV = 77,16

t = 3: 45/1,26 = 35,72, t·PV = 107,17

t = 4: 45/1,36 = 33,08, t·PV = 132,31

t = 5: 45/1,469 = 30,63, t·PV = 153,13

t = 6: 1045/1,587 = 658,53, t·PV = 3 951,16

Дюрация

P = 838,20

D = 4 462,59/838,20 = 5,324

Ответ

D = 5,324 годы

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,868 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €17 000 000

E/V = 0,5882, P_s/V = 0,1176, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,5882·10% + 0,1176·7% + 0,2941·5%·(1 − 0,21) = 7,868%

Ответ

WACC = 7,868%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,577 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€25,00 = €125 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,5·5% = 11%

Веса

V = €164 200 000, E/V = 0,7613, D/V = 0,2387

WACC

WACC = 0,7613·11% + 0,2387·7%·(1 − 0,28) = 9,577%

Ответ

WACC = 9,577%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 13552 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,1⁻⁵)/0,1 = 3,791

Цена покупки в пересчёте на год

40 000/3,791 = 10 551,90

EAC

EAC = 10 551,90 + 3 000 = €13 551,90

Ответ

EAC = €13 551,90

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 7,961 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 9 500 − 8 000 = 1 500

ΔCF₃ = 14 500 − 4 000 = 10 500

IRR разности

NPV_Δ(7%) = 208,39

NPV_Δ(8%) = −8,38

r* = 7,961%

Ответ

r* = 7,961%

Проверка: при 7,961% обе NPV равны €694,57.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation