Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 24 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 24%m = 12

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 14 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5004,2% / 12N = 168

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 12 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €925 при доходности к погашению 8%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 12P = €925YTM = 8%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €930 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 5,9 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 75 базисных пунктов.

P₀ = €930y = 4%D = 5,9Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,75. Стоимость её собственного капитала — 8%, стоимость долга до налогов — 3,5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

D/E = 0,75r_e = 8%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €57,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €86 300 000. Она только что выплатила дивиденд €1,30 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €230 000 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 5 000 000P₀ = €57,50балансовый собственный капитал = €86 300 000D₀ = €1,30g = 5%D = €230 000 000r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €6 000, €9 000, €9 000, €9 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €80 000 приносит €13 500 в конце каждого года в течение 9 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €80 000CF = €13 500n = 9

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 26,82 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,24/12 = 0,02

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,02)¹² − 1 = 1,268 − 1 = 26,82%

Ответ

EAR = 26,82%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 114077 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·14 = 168

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,799 − 1)/0,0035 = €114 076,67

Ответ

FV = €114 076,67

Сами вы внесли €84 000; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 7,005 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,08)⁻¹² = €397,11

Купон

C = (925 − 397,11)/7,536 = €70,05

Купонная ставка

c = 70,05/1000 = 7,005%

Ответ

c = 7,005%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 969,6 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 5,9/1,04 = 5,673

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −5,673·(−0,0075) = 4,255%

P ≈ 930·(1 + 0,04255) = €969,57

Ответ

P = €969,57

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,771 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,2) = 5,771%

Ответ

WACC = 5,771%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,677 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 1,3·1,05 = €1,37

r_e = 1,365/57,5 + 0,05 = 7,374%

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€57,50 = €287 500 000

V = €517 500 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·7,374% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,21) = 5,677%

Ответ

WACC = 5,677%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 7031 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 6 000/1,08 = 5 555,56

CF₂/(1 + 0,08)² = 9 000/1,166 = 7 716,05

CF₃/(1 + 0,08)³ = 9 000/1,26 = 7 144,49

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 9 000/1,36 = 6 615,27

Сложите

NPV = €7 031,36

Ответ

NPV = €7 031,36

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 9,287 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 80 000/13 500 = 5,926

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 9%: 5,995

i = 10%: 5,759

IRR = 9,287%

Ответ

IRR = 9,287%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation