Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 7 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0002% / 4n = 7

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 28 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 3 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 28? Найдите FV.

A = €2 500i = 3%n = 28

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 3% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 3,5% до 2,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 3%n = 14y₁ = 3,5%y₂ = 2,5%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 3 лет и продаётся за €935. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 3%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,5 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,5. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,75. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 4%, рыночная премия за риск — 5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,75T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €16 500, €24 000, €18 500, €13 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 500CF₂ = 24 000CF₃ = 18 500CF₄ = 13 000

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €30 000 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 5. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €30 000g = 2%n = 5r = 12%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 43483 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·7 = 28

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,15 = €43 483,08

Ответ

PV = €43 483,08

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 110547 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,03)²⁸ − 1)/0,03 = 42,93

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 500·42,93·1,03 = €110 547,13

Ответ

FV = €110 547,13

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = 113,1 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €30,00, i = 0,035, N = 14

€30,00·(1 − 0,6178)/0,035 + €1 000·0,6178 = €327,62 + €617,78 = €945,40

Цена при новой доходности

C = €30,00, i = 0,025, N = 14

€30,00·(1 − 0,7077)/0,025 + €1 000·0,7077 = €350,73 + €707,73 = €1 058,45

Изменение

ΔP = 1 058,45 − 945,40 = €113,06

Ответ

ΔP = €113,06

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,405 %

Уравнение для доходности

€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81

YTM = 5,405%

Ответ

YTM = 5,405%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,266 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·13% + 0,625·3%·(1 − 0,258) = 6,266%

Ответ

WACC = 6,266%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12,47 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,5/(1 + 0,7·0,5) = 1,111

Пересчёт при новом D/E

β_L = 1,111·(1 + 0,7·0,75) = 1,694

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,694·5% = 12,47%

Ответ

r_e = 12,47%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,611 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 16 500/1,05 = 15 714,29 → Σ = 15 714,29

год 2: 24 000/1,103 = 21 768,71 → Σ = 37 482,99

год 3: 18 500/1,158 = 15 981,00 → Σ = 53 463,99

год 4: 13 000/1,216 = 10 695,13 → Σ = 64 159,12

Доля последнего года

DPB = 3 + 6 536,01/10 695,13 = 3,611

Ответ

DPB = 3,611 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,077 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −37946 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,12))⁵ = 0,6265

PV = 30 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,6265) = 112 054,47

NPV

NPV = 112 054,47 − 150 000 = −€37 945,53

Ответ

NPV = −€37 945,53

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation