Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 5 лет.

PV = €2 0005% / 4n = 5

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €250 0004,8% / 12N = 360

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 3% и погашается через 7 лет. Её доходность к погашению меняется с 5,5% до 6%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 3%n = 7y₁ = 5,5%y₂ = 6%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 3 лет и продаётся за €1 040. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 3P = €1 040

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €6 000 000, долг — €3 000 000. Её WACC равна 8,15%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 25,8%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €6 000 000D = €3 000 000WACC = 8,15%r_d = 6%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €29,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 6,5%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 1%r_m = 6,5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €30 000 сегодня и приносит €7 500 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 7 500CF₄ = 7 500CF₅ = 7 500CF₆ = 7 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €40 000 приносит €6 500 в конце каждого года в течение 7 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €40 000CF = €6 500n = 7

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2564 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·5 = 20

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,0125)²⁰ = 2 000·1,282 = €2 564,07

Ответ

FV = €2 564,07

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1312 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·30 = 360

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,2376

A = 250 000·0,004/(1 − 0,2376) = €1 311,66

Ответ

A = €1 311,66

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −25,4 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €30,00, i = 0,055, N = 7

€30,00·(1 − 0,6874)/0,055 + €1 000·0,6874 = €170,49 + €687,44 = €857,93

Цена при новой доходности

C = €30,00, i = 0,06, N = 7

€30,00·(1 − 0,6651)/0,06 + €1 000·0,6651 = €167,47 + €665,06 = €832,53

Изменение

ΔP = 832,53 − 857,93 = −€25,40

Ответ

ΔP = −€25,40

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,517 %

Уравнение для доходности

€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(5%) = €1 054,46, P(6%) = €1 026,73

YTM = 5,517%

Ответ

YTM = 5,517%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 9,999 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Долговая часть WACC

0,3333·6%·(1 − 0,258) = 1,484%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8,15% − 1,484%)/0,6667 = 9,999%

Ответ

r_e = 9,999%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,983 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€29,00 = €116 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,5·5,5% = 9,25%

Веса

V = €121 000 000, E/V = 0,9587, D/V = 0,04132

WACC

WACC = 0,9587·9,25% + 0,04132·4%·(1 − 0,3) = 8,983%

Ответ

WACC = 8,983%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,716 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 7 500/1,06 = 7 075,47 → Σ = 7 075,47

год 2: 7 500/1,124 = 6 674,97 → Σ = 13 750,44

год 3: 7 500/1,191 = 6 297,14 → Σ = 20 047,59

год 4: 7 500/1,262 = 5 940,70 → Σ = 25 988,29

год 5: 7 500/1,338 = 5 604,44 → Σ = 31 592,73

Доля последнего года

DPB = 4 + 4 011,71/5 604,44 = 4,716

Ответ

DPB = 4,716 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (4 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 3,329 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/6 500 = 6,154

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 3%: 6,23

i = 4%: 6,002

IRR = 3,329%

Ответ

IRR = 3,329%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation