Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 8,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €20 000g = 2,5%r = 8,5%

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 13 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2004,8% / 12N = 156

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 6 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) при доходности к погашению 3,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 2,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 6y₀ = 3,5%y₁ = 2,5%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 19 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 5%) продаётся за €1 206. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 050. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 5%P = €1 206цена отзыва = €1 050отзыв через 6 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €56,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 9,5%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 4%r_m = 9,5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €20 000 сегодня, служит 6 лет, а его эксплуатация обходится в €2 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 6 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €20 000M = €2 000n = 6r = 6%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €27 500, €26 000, €19 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 26 000CF₃ = 19 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 333333 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,085 − 0,025) = 20 000/0,06 = €333 333,33

Ответ

PV = €333 333,33

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 43203 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·13 = 156

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,864 − 1)/0,004 = €43 202,85

Ответ

FV = €43 202,85

Сами вы внесли €31 200; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 7,888 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €60,00, i = 0,035, N = 6

€60,00·(1 − 0,8135)/0,035 + €1 000·0,8135 = €319,71 + €813,50 = €1 133,21

Цена продажи

C = €60,00, i = 0,025, N = 5

€60,00·(1 − 0,8839)/0,025 + €1 000·0,8839 = €278,75 + €883,85 = €1 162,60

Доходность за период владения

HPR = (60 + 1 162,60 − 1 133,21)/1 133,21 = 7,888%

Ответ

HPR = 7,888%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 2,101 %

Уравнение для доходности

1206 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 2%: €1 212,44

y = 3%: €1 150,22

YTC = 2,101%

Ответ

YTC = 2,101%

Доходность к погашению равна 3,498%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,594 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·14% + 0,625·5%·(1 − 0,25) = 7,594%

Ответ

WACC = 7,594%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 13,67 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€56,50 = €226 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,8·5,5% = 13,9%

Веса

V = €230 900 000, E/V = 0,9788, D/V = 0,02122

WACC

WACC = 0,9788·13,9% + 0,02122·4%·(1 − 0,21) = 13,67%

Ответ

WACC = 13,67%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 6067 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,06⁻⁶)/0,06 = 4,917

Цена покупки в пересчёте на год

20 000/4,917 = 4 067,25

EAC

EAC = 4 067,25 + 2 000 = €6 067,25

Ответ

EAC = €6 067,25

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,65 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 967,59

NPV(25%) = −1 632,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 967,59/(1 967,59 − (−1 632,00)) = 22,73%

точно: NPV(22,65%) = 0 → IRR = 22,65%

Ответ

IRR = 22,65%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation