Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 5 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €25 0005% / 12n = 5

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €300 в конце каждого месяца в течение 24 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €3004,2% / 12N = 288

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 5,5%n = 12

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 4,5% двумя полугодовыми платежами и погашается через 12 лет. Она продаётся за €955. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 12P = €955

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций, торгующихся по €20,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €40 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,20 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €24 000 000, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 4 000 000P₀ = €20,00балансовый собственный капитал = €40 000 000D₀ = €2,20g = 4%D = €24 000 000r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €50 000 сегодня и приносит €13 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 8 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 500CF₄ = 13 500CF₅ = 13 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €10 000 и приносит €6 000, €4 000, €2 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €20 000 и приносит €5 500, €7 500, €10 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −20 000, 5 500, 7 500, 10 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 19480 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·5 = 60

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,283 = €19 480,13

Ответ

PV = €19 480,13

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 148740 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·24 = 288

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,735 − 1)/0,0035 = €148 739,76

Ответ

FV = €148 739,76

Сами вы внесли €86 400; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 782,5 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,0275, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €261,01

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5215 = €521,48

Цена

P = €782,49

Ответ

P = €782,49

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,003 %

За период

C = €22,50, N = 24

Численное решение

i = 2,502% за полгода

YTM

YTM = 2·2,502% = 5,003%

Ответ

YTM = 5,003%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,25 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,25) = 6,25%

Ответ

WACC = 6,25%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 12,54 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2,2·1,04 = €2,29

r_e = 2,288/20 + 0,04 = 15,44%

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€20,00 = €80 000 000

V = €104 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·15,44% + 0,2308·4%·(1 − 0,28) = 12,54%

Ответ

WACC = 12,54%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,575 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 13 500/1,08 = 12 500,00 → Σ = 12 500,00

год 2: 13 500/1,166 = 11 574,07 → Σ = 24 074,07

год 3: 13 500/1,26 = 10 716,74 → Σ = 34 790,81

год 4: 13 500/1,36 = 9 922,90 → Σ = 44 713,71

год 5: 13 500/1,469 = 9 187,87 → Σ = 53 901,59

Доля последнего года

DPB = 4 + 5 286,29/9 187,87 = 4,575

Ответ

DPB = 4,575 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,704 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 5,155 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 500 − 6 000 = −500

ΔCF₂ = 7 500 − 4 000 = 3 500

ΔCF₃ = 10 500 − 2 000 = 8 500

IRR разности

NPV_Δ(5%) = 41,03

NPV_Δ(6%) = −219,95

r* = 5,155%

Ответ

r* = 5,155%

Проверка: при 5,155% обе NPV равны €1 043,36.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation