Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 8 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €20 000g = 2%r = 8%

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €12 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €12 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 9 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €760 при доходности к погашению 9%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 9P = €760YTM = 9%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 8 лет и продаётся за €890. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 8P = €890

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €5 000 000, стоимость собственного капитала — 9%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 7%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 079. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €5 000 000r_e = 9%облигации: 2 000 × €1 079купон = 7%n = 11T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €19 000, €19 000, €20 000, €14 000, €13 500 в конце годов с 1-го по 5-й. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 19 000CF₃ = 20 000CF₄ = 14 000CF₅ = 13 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €40 000 и приносит €22 500, €16 000, €9 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €50 000 и приносит €12 500, €21 500, €27 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −40 000, 22 500, 16 000, 9 000B: −50 000, 12 500, 21 500, 27 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 333333 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,08 − 0,02) = 20 000/0,06 = €333 333,33

Ответ

PV = €333 333,33

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 218,8 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 12 000·0,003/(1 − 0,8355) = €218,84

Ответ

A = €218,84

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 4,997 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,09)⁻⁹ = €460,43

Купон

C = (760 − 460,43)/5,995 = €49,97

Купонная ставка

c = 49,97/1000 = 4,997%

Ответ

c = 4,997%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,986 %

Уравнение для доходности

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(8%) = €942,53, P(9%) = €889,30

YTM = 8,986%

Ответ

YTM = 8,986%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,395 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

WACC

WACC = 0,7273·12% + 0,2727·3,5%·(1 − 0,3) = 9,395%

Ответ

WACC = 9,395%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,629 %

Стоимость долга (YTM)

1079 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 5,998%

Рыночные стоимости

D = 2 000·€1 079 = €2 158 000

V = €7 158 000, E/V = 0,6985, D/V = 0,3015

WACC

WACC = 0,6985·9% + 0,3015·5,998%·(1 − 0,258) = 7,629%

Ответ

WACC = 7,629%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,642 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 19 000/1,05 = 18 095,24 → Σ = 18 095,24

год 2: 19 000/1,103 = 17 233,56 → Σ = 35 328,80

год 3: 20 000/1,158 = 17 276,75 → Σ = 52 605,55

год 4: 14 000/1,216 = 11 517,83 → Σ = 64 123,38

Доля последнего года

DPB = 3 + 7 394,45/11 517,83 = 3,642

Ответ

DPB = 3,642 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,143 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 8,349 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −50 000 − (−40 000) = −10 000

ΔCF₁ = 12 500 − 22 500 = −10 000

ΔCF₂ = 21 500 − 16 000 = 5 500

ΔCF₃ = 27 500 − 9 000 = 18 500

IRR разности

NPV_Δ(8%) = 142,00

NPV_Δ(9%) = −259,68

r* = 8,349%

Ответ

r* = 8,349%

Проверка: при 8,349% обе NPV равны €1 471,03.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation