Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 18 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 18%m = 365

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 4? Найдите остаток долга B.

P = €250 0007,2% / 12N = 300k = 48

B = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 9 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €739 при доходности к погашению 7%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 9P = €739YTM = 7%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 8 лет и продаётся за €865. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 8P = €865

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €2 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €51,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €127 500 000. Она только что выплатила дивиденд €2,70 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €127 500 000, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 5 000 000P₀ = €51,00балансовый собственный капитал = €127 500 000D₀ = €2,70g = 4%D = €127 500 000r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €8 000, €6 000, €4 000, €6 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000CF₄ = 6 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €40 000 приносит €7 500 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €40 000CF = €7 500n = 6

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 19,72 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,18/365 = 0,0004932

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0004932)³⁶⁵ − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%

Ответ

EAR = 19,72%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 233427 €

Ежемесячный платёж

i = 0,006, N = 300

A = 250 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁰⁰) = €1 798,97

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 48 = 252

B = 1799·(1 − (1 + 0,006)⁻²⁵²)/0,006 = €233 426,50

Ответ

B = €233 426,50

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 2,994 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,07)⁻⁹ = €543,93

Купон

C = (739 − 543,93)/6,515 = €29,94

Купонная ставка

c = 29,94/1000 = 2,994%

Ответ

c = 2,994%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 9,483 %

Уравнение для доходности

€865 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(9%) = €889,30, P(10%) = €839,95

YTM = 9,483%

Ответ

YTM = 9,483%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,744 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·12% + 0,6·4,5%·(1 − 0,28) = 6,744%

Ответ

WACC = 6,744%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,404 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2,7·1,04 = €2,81

r_e = 2,808/51 + 0,04 = 9,506%

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€51,00 = €255 000 000

V = €382 500 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9,506% + 0,3333·4%·(1 − 0,2) = 7,404%

Ответ

WACC = 7,404%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 136,9 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 6 000/1,166 = 5 144,03

CF₃/(1 + 0,08)³ = 4 000/1,26 = 3 175,33

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 6 000/1,36 = 4 410,18

Сложите

NPV = €136,95

Ответ

NPV = €136,95

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 3,473 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 40 000/7 500 = 5,333

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 3%: 5,417

i = 4%: 5,242

IRR = 3,473%

Ответ

IRR = 3,473%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation