Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 7 лет.

PV = €5 0002% / 4n = 7

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 16 лет. Счёт даёт 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1003,6% / 12N = 192

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 8% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 8%n = 11

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 8% и погашается через 5 лет. Доходность к погашению — 7%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 8%n = 5YTM = 7%

D = годы

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 10%, стоимость долга до налогов — 3%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 10%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 1. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 2,5%, рыночная премия за риск — 6,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1D/E = 1T = 21%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €11 000, €22 000, €17 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 22 000CF₃ = 17 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €10 000, €18 000, €16 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 5749 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·7 = 28

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,005)²⁸ = 5 000·1,15 = €5 749,36

Ответ

FV = €5 749,36

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 25913 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·16 = 192

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,777 − 1)/0,003 = €25 912,51

Ответ

FV = €25 912,51

Сами вы внесли €19 200; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 638,7 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,04, N = 22

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,422)/0,04 = €216,77

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,422 = €421,96

Цена

P = €638,72

Ответ

P = €638,72

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 4,327 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 80/1,07 = 74,77, t·PV = 74,77

t = 2: 80/1,145 = 69,88, t·PV = 139,75

t = 3: 80/1,225 = 65,30, t·PV = 195,91

t = 4: 80/1,311 = 61,03, t·PV = 244,13

t = 5: 1080/1,403 = 770,03, t·PV = 3 850,13

Дюрация

P = 1 041,00

D = 4 504,68/1 041,00 = 4,327

Ответ

D = 4,327 годы

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,387 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10% + 0,3333·3%·(1 − 0,28) = 7,387%

Ответ

WACC = 7,387%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 14,13 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1·(1 + 0,79·1) = 1,79

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,79·6,5% = 14,13%

Ответ

r_e = 14,13%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −4046 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 11 000/1,1 = 10 000,00

CF₂/(1 + 0,1)² = 22 000/1,21 = 18 181,82

CF₃/(1 + 0,1)³ = 17 000/1,331 = 12 772,35

Сложите

NPV = €−4 045,83

Ответ

NPV = €−4 045,83

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 31,63 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 625,85

NPV(35%) = −1 212,98

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·625,85/(625,85 − (−1 212,98)) = 31,7%

точно: NPV(31,63%) = 0 → IRR = 31,63%

Ответ

IRR = 31,63%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation