В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €2 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 4,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €2 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €250 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 5 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) при доходности к погашению 9%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 10,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 5y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
4.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 3 лет. Доходность к погашению — 7%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.
F = €1 000купон = 4%n = 3YTM = 7%
D = годы
5.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 0,8 имеет требуемую доходность 7,1%. Безрисковая ставка — 3,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 0,8re = 7,1%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM и WACCСложная
У компании 5 000 000 акций по €27,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 6%rd = 4%T = 21%
WACC = %
7.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €50 000 сегодня и приносит €11 000, €22 000, €19 500, €20 500 в конце годов с 1-го по 4-й. Стоимость капитала — 12 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €40 000 и приносит €22 500, €29 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 29 500
IRR = %
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 100000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61
Ответ
A = €1 136,61
3.Цена и доходность облигаций
Ответ: HPR = 4,214 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Приведённая стоимость каждого потока
t = 1: 40/1,07 = 37,38, t·PV = 37,38
t = 2: 40/1,145 = 34,94, t·PV = 69,88
t = 3: 1040/1,225 = 848,95, t·PV = 2 546,85
Дюрация
P = 921,27
D = 2 654,11/921,27 = 2,881
Ответ
D = 2,881 годы
5.CAPM и WACC
Ответ: rm = 8 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (7,1% − 3,5%)/0,8 = 4,5%
Доходность рынка
rm = 3,5% + 4,5% = 8%
Ответ
rm = 8%
6.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,862 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 11 000/1,12 = 9 821,43 → Σ = 9 821,43
год 2: 22 000/1,254 = 17 538,27 → Σ = 27 359,69
год 3: 19 500/1,405 = 13 879,71 → Σ = 41 239,41
год 4: 20 500/1,574 = 13 028,12 → Σ = 54 267,53
Доля последнего года
DPB = 3 + 8 760,59/13 028,12 = 3,672
Ответ
DPB = 3,672 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,872 лет).
8.NPV и IRR
Ответ: IRR = 18,49 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(15%) = 1 871,46
NPV(20%) = −763,89
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.