Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под 3 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 9 лет.

PV = €1 000r = 3%t = 9

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 18 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5003% / 12N = 216

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 4 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 5%) при доходности к погашению 6%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 7%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 4y₀ = 6%y₁ = 7%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 6 лет и продаётся за €930. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 6P = €930

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 0,9. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,5. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 3%, рыночная премия за риск — 5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 0,9D/E = 0,5T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €14 000, €16 500, €26 500, €23 500, €19 500, €22 500 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 16 500CF₃ = 26 500CF₄ = 23 500CF₅ = 19 500CF₆ = 22 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €27 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 5. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €27 000g = 5%n = 5r = 12%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1310 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,03·9 = 0,27

e^0,27 = 1,31

Будущая стоимость

FV = 1 000·1,31 = €1 309,96

Ответ

FV = €1 309,96

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 142970 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·18 = 216

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,715 − 1)/0,0025 = €142 970,17

Ответ

FV = €142 970,17

Сами вы внесли €108 000; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 3,332 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €50,00, i = 0,06, N = 4

€50,00·(1 − 0,7921)/0,06 + €1 000·0,7921 = €173,26 + €792,09 = €965,35

Цена продажи

C = €50,00, i = 0,07, N = 3

€50,00·(1 − 0,8163)/0,07 + €1 000·0,8163 = €131,22 + €816,30 = €947,51

Доходность за период владения

HPR = (50 + 947,51 − 965,35)/965,35 = 3,332%

Ответ

HPR = 3,332%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,539 %

Уравнение для доходности

€930 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(8%) = €953,77, P(9%) = €910,28

YTM = 8,539%

Ответ

YTM = 8,539%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,413 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,28) = 8,413%

Ответ

WACC = 8,413%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 9,277 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 0,9·(1 + 0,79·0,5) = 1,256

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 1,256·5% = 9,277%

Ответ

r_e = 9,277%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,53 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 14 000/1,06 = 13 207,55 → Σ = 13 207,55

год 2: 16 500/1,124 = 14 684,94 → Σ = 27 892,49

год 3: 26 500/1,191 = 22 249,91 → Σ = 50 142,40

год 4: 23 500/1,262 = 18 614,20 → Σ = 68 756,60

Доля последнего года

DPB = 3 + 9 857,60/18 614,20 = 3,53

Ответ

DPB = 3,53 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,128 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −43619 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,12))⁵ = 0,7242

PV = 27 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,7242) = 106 381,38

NPV

NPV = 106 381,38 − 150 000 = −€43 618,62

Ответ

NPV = −€43 618,62

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation