Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 21 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 21%m = 12

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Через 8 лет вам нужно €20 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €20 0003,6% / 12N = 96

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 4% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 12

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 8 лет и продаётся за €850. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 8P = €850

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €10 000 000, долг — €4 000 000. Её WACC равна 8,16%, стоимость долга до налогов — 4,5%, ставка налога — 21%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 8,16%r_d = 4,5%T = 21%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €13,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 5%. Найдите WACC.

β = 1,1r_f = 1%r_m = 5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €11 000 в конце каждого года в течение 3 лет, а затем может быть продан за €7 500. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €11 000S = €7 500n = 3r = 12%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €30 000 и приносит €17 500, €12 500, €6 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €32 000 и приносит €9 500, €13 500, €17 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −30 000, 17 500, 12 500, 6 500B: −32 000, 9 500, 13 500, 17 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 23,14 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,21/12 = 0,0175

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0175)¹² − 1 = 1,231 − 1 = 23,14%

Ответ

EAR = 23,14%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 180,1 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·8 = 96

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,003/(1,333 − 1) = €180,08

Ответ

A = €180,08

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 905,4 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,02, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €283,71

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6217 = €621,72

Цена

P = €905,43

Ответ

P = €905,43

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 6,46 %

Уравнение для доходности

€850 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(6%) = €875,80, P(7%) = €820,86

YTM = 6,46%

Ответ

YTM = 6,46%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 10 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Долговая часть WACC

0,2857·4,5%·(1 − 0,21) = 1,016%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8,16% − 1,016%)/0,7143 = 10%

Ответ

r_e = 10%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,131 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€13,50 = €54 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,1·4% = 5,4%

Веса

V = €64 500 000, E/V = 0,8372, D/V = 0,1628

WACC

WACC = 0,8372·5,4% + 0,1628·5%·(1 − 0,25) = 5,131%

Ответ

WACC = 5,131%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 1758 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

11 000·2,402 = 26 420,14

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

7 500/1,405 = 5 338,35

NPV

NPV = −30 000 + 26 420,14 + 5 338,35 = €1 758,50

Ответ

NPV = €1 758,50

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 8,979 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 9 500 − 17 500 = −8 000

ΔCF₂ = 13 500 − 12 500 = 1 000

ΔCF₃ = 17 500 − 6 500 = 11 000

IRR разности

NPV_Δ(8%) = 182,09

NPV_Δ(9%) = −3,75

r* = 8,979%

Ответ

r* = 8,979%

Проверка: при 8,979% обе NPV равны €1 605,11.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation