Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 9 лет.

PV = €5 000r = 5%t = 9

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 27 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1004,2% / 12N = 324

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 3%n = 3

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 055 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 7,7 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 25 базисных пунктов.

P₀ = €1 055y = 4%D = 7,7Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 2 имеет требуемую доходность 15%. Безрисковая ставка — 4%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 2r_e = 15%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций, торгующихся по €20,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €12 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,20 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €6 000 000, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 1 000 000P₀ = €20,00балансовый собственный капитал = €12 000 000D₀ = €2,20g = 5%D = €6 000 000r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €40 000 сегодня, служит 8 лет, а его эксплуатация обходится в €3 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 6 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €4 500, €6 500, €6 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 500CF₃ = 6 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 7842 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,05·9 = 0,45

e^0,45 = 1,568

Будущая стоимость

FV = 5 000·1,568 = €7 841,56

Ответ

FV = €7 841,56

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 60055 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·27 = 324

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(3,102 − 1)/0,0035 = €60 054,75

Ответ

FV = €60 054,75

Сами вы внесли €32 400; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1043 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €22,50, i = 0,015, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€22,50·(1 − 0,9145)/0,015 = €128,19

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,9145 = €914,54

Цена

P = €1 042,73

Ответ

P = €1 042,73

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1035 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 7,7/1,04 = 7,404

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −7,404·(0,0025) = −1,851%

P ≈ 1055·(1 − 0,01851) = €1 035,47

Ответ

P = €1 035,47

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 9,5 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (15% − 4%)/2 = 5,5%

Доходность рынка

r_m = 4% + 5,5% = 9,5%

Ответ

r_m = 9,5%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 13,65 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2,2·1,05 = €2,31

r_e = 2,31/20 + 0,05 = 16,55%

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€20,00 = €20 000 000

V = €26 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·16,55% + 0,2308·5%·(1 − 0,2) = 13,65%

Ответ

WACC = 13,65%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 9441 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Цена покупки в пересчёте на год

40 000/6,21 = 6 441,44

EAC

EAC = 6 441,44 + 3 000 = €9 441,44

Ответ

EAC = €9 441,44

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 30,26 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 38,69

NPV(35%) = −661,48

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·38,69/(38,69 − (−661,48)) = 30,28%

точно: NPV(30,26%) = 0 → IRR = 30,26%

Ответ

IRR = 30,26%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation