Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €5 0004,8% / 4n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет. Ставка — 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0003% / 12N = 48

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 5%) при доходности к погашению 3%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 3,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 11y₀ = 3%y₁ = 3,5%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 4,5% двумя полугодовыми платежами и погашается через 9 лет. Она продаётся за €1 077. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 9P = €1 077

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €12 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость привилегированного капитала — 6,5%, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 6,5%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €8 000 000, стоимость собственного капитала — 12%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 093. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €8 000 000r_e = 12%облигации: 2 000 × €1 093купон = 4%n = 11T = 20%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €22 000, €15 000, €30 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 22 000CF₂ = 15 000CF₃ = 30 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €21 000, €21 000, €18 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 18 500

MIRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 5501 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·2 = 8

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,012)⁸ = 5 000·1,1 = €5 500,65

Ответ

FV = €5 500,65

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 553,4 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8871

A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €553,36

Ответ

A = €553,36

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = −0,8694 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €50,00, i = 0,03, N = 11

€50,00·(1 − 0,7224)/0,03 + €1 000·0,7224 = €462,63 + €722,42 = €1 185,05

Цена продажи

C = €50,00, i = 0,035, N = 10

€50,00·(1 − 0,7089)/0,035 + €1 000·0,7089 = €415,83 + €708,92 = €1 124,75

Доходность за период владения

HPR = (50 + 1 124,75 − 1 185,05)/1 185,05 = −0,8694%

Ответ

HPR = −0,8694%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,495 %

За период

C = €22,50, N = 18

Численное решение

i = 1,748% за полгода

YTM

YTM = 2·1,748% = 3,495%

Ответ

YTM = 3,495%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 12,22 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 12 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €14 500 000

E/V = 0,8276, P_s/V = 0,03448, D/V = 0,1379

WACC

WACC = 0,8276·14% + 0,03448·6,5% + 0,1379·4%·(1 − 0,258) = 12,22%

Ответ

WACC = 12,22%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,939 %

Стоимость долга (YTM)

1093 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 2,995%

Рыночные стоимости

D = 2 000·€1 093 = €2 186 000

V = €10 186 000, E/V = 0,7854, D/V = 0,2146

WACC

WACC = 0,7854·12% + 0,2146·2,995%·(1 − 0,2) = 9,939%

Ответ

WACC = 9,939%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −15707 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 22 000/1,06 = 20 754,72

CF₂/(1 + 0,06)² = 15 000/1,124 = 13 349,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 30 000/1,191 = 25 188,58

Сложите

NPV = €−15 706,76

Ответ

NPV = €−15 706,76

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 10,99 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

21 000·1,12² = 26 342,40

21 000·1,12¹ = 23 520,00

18 500·1,12⁰ = 18 500,00

TV = 68 362,40

MIRR

MIRR = (68 362,40/50 000)^1/3 − 1 = 10,99%

Ответ

MIRR = 10,99%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation