Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 9 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 3,6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0003,6% / 4n = 9

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 14? Найдите остаток долга B.

P = €150 0004,8% / 12N = 360k = 168

B = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 8% и погашается через 7 лет. Её доходность к погашению меняется с 5,5% до 6,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 8%n = 7y₁ = 5,5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 4 лет и продаётся за €970. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 4P = €970

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1,1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,6. Ставка налога — 25,8%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 7%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1,1D/E = 0,6T = 25,8%r_f = 1,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €50 000 сегодня и приносит €13 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000CF₅ = 13 000CF₆ = 13 000

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €10 000 и приносит €5 500, €4 000, €2 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €15 000 и приносит €4 000, €6 000, €8 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 36215 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·9 = 36

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,381 = €36 214,96

Ответ

PV = €36 214,96

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 105330 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 360

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶⁰) = €787,00

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 360 − 168 = 192

B = 787·(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁹²)/0,004 = €105 329,60

Ответ

B = €105 329,60

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −59,81 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €80,00, i = 0,055, N = 7

€80,00·(1 − 0,6874)/0,055 + €1 000·0,6874 = €454,64 + €687,44 = €1 142,07

Цена при новой доходности

C = €80,00, i = 0,065, N = 7

€80,00·(1 − 0,6435)/0,065 + €1 000·0,6435 = €438,76 + €643,51 = €1 082,27

Изменение

ΔP = 1 082,27 − 1 142,07 = −€59,81

Ответ

ΔP = −€59,81

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,924 %

Уравнение для доходности

€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Численное решение

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60

YTM = 8,924%

Ответ

YTM = 8,924%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,685 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·9% + 0,09091·7%·(1 − 0,21) = 8,685%

Ответ

WACC = 8,685%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12,63 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1,1·(1 + 0,742·0,6) = 1,59

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,59·7% = 12,63%

Ответ

r_e = 12,63%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 5,098 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 13 000/1,1 = 11 818,18 → Σ = 11 818,18

год 2: 13 000/1,21 = 10 743,80 → Σ = 22 561,98

год 3: 13 000/1,331 = 9 767,09 → Σ = 32 329,08

год 4: 13 000/1,464 = 8 879,17 → Σ = 41 208,25

год 5: 13 000/1,611 = 8 071,98 → Σ = 49 280,23

год 6: 13 000/1,772 = 7 338,16 → Σ = 56 618,39

Доля последнего года

DPB = 5 + 719,77/7 338,16 = 5,098

Ответ

DPB = 5,098 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,846 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 8,594 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 500 − 2 500 = 6 000

IRR разности

NPV_Δ(8%) = 88,78

NPV_Δ(9%) = −59,69

r* = 8,594%

Ответ

r* = 8,594%

Проверка: при 8,594% обе NPV равны €408,94.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation