Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 22 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 22%m = 365

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 24 лет. Счёт даёт 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €505,4% / 12N = 288

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 6 лет. Её доходность к погашению меняется с 8% до 9%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 4%n = 6y₁ = 8%y₂ = 9%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 7 лет и продаётся за €875. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 7P = €875

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 500 000 акций по €28,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €14 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500CF₃ = 14 500CF₄ = 14 500CF₅ = 14 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €17 500, €24 000, €18 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 24 000CF₃ = 18 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 24,6 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,22/365 = 0,0006027

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0006027)³⁶⁵ − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%

Ответ

EAR = 24,6%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 29378 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·24 = 288

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,644 − 1)/0,0045 = €29 378,21

Ответ

FV = €29 378,21

Сами вы внесли €14 400; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −39,38 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €40,00, i = 0,08, N = 6

€40,00·(1 − 0,6302)/0,08 + €1 000·0,6302 = €184,92 + €630,17 = €815,08

Цена при новой доходности

C = €40,00, i = 0,09, N = 6

€40,00·(1 − 0,5963)/0,09 + €1 000·0,5963 = €179,44 + €596,27 = €775,70

Изменение

ΔP = 775,70 − 815,08 = −€39,38

Ответ

ΔP = −€39,38

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 9,528 %

Уравнение для доходности

€875 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Численное решение

P(9%) = €899,34, P(10%) = €853,95

YTM = 9,528%

Ответ

YTM = 9,528%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,839 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·11% + 0,2·7%·(1 − 0,258) = 9,839%

Ответ

WACC = 9,839%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,754 %

Рыночные стоимости

E = 2 500 000·€28,50 = €71 250 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,3·4,5% = 8,35%

Веса

V = €81 750 000, E/V = 0,8716, D/V = 0,1284

WACC

WACC = 0,8716·8,35% + 0,1284·5%·(1 − 0,258) = 7,754%

Ответ

WACC = 7,754%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,108 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 14 500/1,06 = 13 679,25 → Σ = 13 679,25

год 2: 14 500/1,124 = 12 904,95 → Σ = 26 584,19

год 3: 14 500/1,191 = 12 174,48 → Σ = 38 758,67

год 4: 14 500/1,262 = 11 485,36 → Σ = 50 244,03

Доля последнего года

DPB = 3 + 1 241,33/11 485,36 = 3,108

Ответ

DPB = 3,108 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,759 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,61 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 666,67

NPV(25%) = −1 424,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 666,67/(1 666,67 − (−1 424,00)) = 22,7%

точно: NPV(22,61%) = 0 → IRR = 22,61%

Ответ

IRR = 22,61%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation