Детали машин: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 15, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 24. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 1,1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 24η = 97%

T₁ = N·m

2.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (15 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (40 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 60C = 12D = 40

n_out = rpm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 3 m передаёт крутящий момент 400 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1,5°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 400 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) передаёт 30 kW при 1500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 40 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 40 mm нагружен осевой сжимающей силой 180 kN вместе с крутящим моментом 250 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 40 mmF = −180 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 50 mm, длиной 500 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,3 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 120 MPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 50 mm, E = 110 GPa и допускаемым напряжением 80 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 50 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механические колебанияСредняя

Груз массой 20 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 20 kgk = 100 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 50 kN/m и k₂ = 50 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 3,622 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Ответ

T₁ = 3,622 N·m

2.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 72 rpm

Первая ступень

n_B = 960·15/60 = 240 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 240·12/40 = 72 rpm

Ответ

n_out = 72 rpm

общее передаточное отношение = 13,33 : 1

3.Кручение валов

Ответ: d = 49,15 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(80000·0,02618) = 572958 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 49,15 mm

Ответ

d = 49,15 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 64,35 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 64,35 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(28,97, 64,35) = 64,35 mm

Ответ

d = 64,35 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 50 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−50 − 30)/2)² + 30²) = 50 MPa

Ответ

τ_max = 50 MPa

6.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 2,712 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −180000/(π·40²/4) = −180000/1257 = −143,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −71,62 MPa

R = √((−71,62)² + 19,89²) = 74,33 MPa

σ₁ = C + R = 2,712 MPa

σ₂ = C − R = −146 MPa

Ответ

σ₁ = 2,712 MPa

7.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 28,56 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,3/1,05 × 10⁻⁵ = 28560 N = 28,56 kN

Ответ

P = 28,56 kN

8.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 239,9 kN

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (сталь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006·3,998 × 10⁸ = 239861 N = 239,9 kN

Ответ

P_max = 239,9 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 5,888 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Ответ

P_cr = 5,888 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 55,77 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,77 mm

Ответ

d = 55,77 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 179,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Механические колебания

Ответ: f_d = 10,05 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/20) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,45²) = 10,05 Hz

Ответ

f_d = 10,05 Hz

12.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,33 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 50 + 50 = 100 kN/m

k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10,71 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(10714/50) = 14,64 rad/s

f_n = 14,64/(2π) = 2,33 Hz

Ответ

f_n = 2,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design