Детали машин: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 120 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 2 mm и передаточным отношением 5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 120 mmm = 2 mmi = 5

N₁ =

2.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (20 зубьев) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (25 зубьев). Колесо C (40 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 512 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 960 rpmA = 20B = 25C = 40n_out = 512 rpm

N_D =

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 500 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

6.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 110 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 25 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 250 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 50 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 100 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 10 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 10 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg на пружине жёсткостью 20 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 80 kN/m и k₂ = 100 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 20

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/2 = 120

Делим по передаточному отношению

N₁ = 120/(1 + 5) = 20

Ответ

N₁ = 20

2.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 60

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 960·20/25 = 768 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 40·768/512 = 60

Ответ

N_D = 60

3.Кручение валов

Ответ: φ = 17,24 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·38350) = 0,3009 rad

φ = 0,3009·180/π = 17,24°

Ответ

φ = 17,24°

4.Кручение валов

Ответ: d = 56,71 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·40)) = 56,71 mm

Ответ

d = 56,71 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −51,26 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −10/46,1 = −0,2169, sin 2θ_s = −45/46,1 = −0,9762

2θ_s = atan2(−45, −10) = −102,5°

Угол на элементе

θ_s = −51,26°

проверка: θ_s − θ_p = −51,26 − (−6,264) = −45°

Ответ

θ_s = −51,26°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

6.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −59,64 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −40·0,866 + −50·0,5 = −59,64 MPa

Ответ

τ_θ = −59,64 MPa

7.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 1088 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Ответ

ε = 1088 µε

8.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 404,5 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·3063 = 4,045 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00125, 0,001) = 0,001 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,001·4,045 × 10⁸ = 404480 N = 404,5 kN

Ответ

P_max = 404,5 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,03 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/5000² = 23029 N = 23,03 kN

Ответ

P_cr = 23,03 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 32,66 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 32,66 mm

Ответ

d = 32,66 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 257,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,178 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(20000/40) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,45²) = 3,178 Hz

Ответ

f_d = 3,178 Hz

12.Механические колебания

Ответ: f_n = 9,549 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 100 = 180 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(180000/50) = 60 rad/s

f_n = 60/(2π) = 9,549 Hz

Ответ

f_n = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design