Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 350 Ω и V_s = 2 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 87,5 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 2 VR = 350 ΩΔR = 87,5 Ω

V_ab = mV

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 1000 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: два активных тензорезистора в соседних плечах, один на растяжение и один на сжатие (полумост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 1200 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2ε = 1200 µε

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Найдите идеальное отношение сигнал/шум квантования SQNR 6-разрядного АЦП для синусоиды на полной шкале.

N = 6

SQNR = dB

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Датчик температуры выдаёт 10 mV/°C (0 V при 0 °C). Его сигнал усиливается в 2 раз и подаётся на 10-разрядный АЦП с диапазоном от 0 до 5 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Найдите изменение температуры ΔT_LSB, соответствующее одному LSB.

S = 10 mV/°CG = 2N = 10V_FSR = 5 V

ΔT_LSB = °C

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 8.

R₁ = 22 kΩA_v = 8

R_f = kΩ

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,7 VV₂ = −1,8 VR₁ = 1 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 111,1 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 2·437,5/787,5 = 1,111 V

V_b = 1 V

Выделение

V_ab = 111,1 mV

Ответ

V_ab = 111,1 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 125 mV завышена на 12,5 %: четвертьмост не совсем линеен.

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 3 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0,0024

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε/2 = 2,5·0,0024/2 = 3 mV

Ответ

V_o = 3 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: SQNR = 37,88 dB

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Идеальное SQNR

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

Ответ

SQNR = 37,88 dB

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: ΔT_LSB = 0,2441 °C

Шаг квантования

1 LSB = 5000/1024 = 4,883 mV

Чувствительность на входе АЦП

10·2 = 20 mV/°C

Температурное разрешение

ΔT_LSB = 4,883/20 = 0,2441 °C

Ответ

ΔT_LSB = 0,2441 °C

АЦП достигает полной шкалы при 250 °C.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 154 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (8 − 1)·22 = 154 kΩ

Ответ

R_f = 154 kΩ

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −7,605 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,7/1 = 1,7 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,8/22 = −0,08182 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,618 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·1,618 = −7,605 V

Ответ

V_out = −7,605 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3857 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 20 + 1,875 = 21,88 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/21,88 = 0,4114 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,4114·20 = 0,7714 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,7714/2 = 0,3857 A

Ответ

I_R2 = 0,3857 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,345 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 6,512 Ω

R₃ + 6,512 = 9,512 Ω

R₂ ∥ 9,512 = 4,345 Ω

R_eq = R₁ + 4,345 = 5 + 4,345 = 9,345 Ω

Ответ

R_eq = 9,345 Ω

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 6,444 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,444 + 2 = 6,444 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = −1,79 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 25·30/(25+30) = 13,64 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 13,64 + 20 = 33,64 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,909 + (−3)·13,64 = −36 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −36 + (−3)·20 = −96 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −96/(33,64 + 20) = −1,79 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжения узлов

Выделение

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Выход моста

Ответ

Идеальное SQNR

Ответ

Шаг квантования

Чувствительность на входе АЦП

Температурное разрешение

Ответ

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Входные токи

Выходное напряжение

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода