Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 470 Ω и V_s = 2 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 117,5 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 2 VR = 470 ΩΔR = 117,5 Ω

V_ab = mV

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2) питается напряжением 3 V. Под нагрузкой выход показывает 0,375 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 3 VGF = 2V_o = 0,375 mV

ε = µε

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Регистратор дискретизирует один канал с частотой 10 kHz с помощью 24-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 30 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 1f_s = 10 kHzN = 24t = 30 min

M = MB

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Для аудиоизмерения нужно идеальное отношение сигнал/шум квантования не менее 65 dB для синусоиды на полной шкале. Найдите наименьшее число разрядов АЦП N.

SQNR ≥ 65 dB

N =

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1 VR_a = 47 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = 1,4 VV₂ = 1,6 VR₁ = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 22 kΩ

I_f = mA

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 111,1 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 2·587,5/1058 = 1,111 V

V_b = 1 V

Выделение

V_ab = 111,1 mV

Ответ

V_ab = 111,1 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 125 mV завышена на 12,5 %: четвертьмост не совсем линеен.

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 250 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,000375/(3·2) = 0,00025

В микродеформациях

ε = 250 µε

Ответ

ε = 250 µε

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 54 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈24/8⌉ = 3 B

Скорость в байтах

1·10000·3 = 30000 B/s

Память

M = 30000·1800 = 5,4 × 10⁷ B = 54 MB

Ответ

M = 54 MB

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 11

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Решите относительно N

N ≥ (65 − 1,76)/6,02 = 10,5

Округлите вверх

N = 11

проверка: 6,02·11 + 1,76 = 67,98 dB ≥ 65 dB

Ответ

N = 11

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,4898 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·2/(47 + 2) = 0,04082 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,04082·(1 + 22/2) = 0,4898 V

Ответ

V_out = 0,4898 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = 0,08673 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,4/100 = 0,014 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,6/22 = 0,07273 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,08673 mA

Ответ

I_f = 0,08673 mA

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,714 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω

R_eq = R₁ + 1,714 = 5 + 1,714 = 6,714 Ω

Ответ

R_eq = 6,714 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 2,38 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 3,429 Ω

R₃ + 3,429 = 18,43 Ω

R₂ ∥ 18,43 = 3,933 Ω

R_eq = R₁ + 3,933 = 4 + 3,933 = 7,933 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,933 = 3,025 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 3,025·4 = 11,9 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,9/5 = 2,38 A

Ответ

I_R2 = 2,38 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 1,216 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,727 + 4 = 6,727 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·5/(6+5) = 8,182 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 8,182/6,727 = 1,216 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 9,463 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 30 = 31,71 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,857 + 1·1,714 = 5,571 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5,571 + 1·30 = 35,57 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 35,57/(31,71 + 20) = 0,6878 A

P_L = I_L²·R_L = 0,6878²·20 = 9,463 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжения узлов

Выделение

Ответ

Решите уравнение четвертьмоста

В микродеформациях

Ответ

Байт на отсчёт

Скорость в байтах

Память

Ответ

Решите относительно N

Округлите вверх

Ответ

Напряжение на входе +

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Входные токи

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода