Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 220 Ω питается напряжением 15 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 147,1 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 15 VR = 220 ΩV_ab = 147,1 mV

ΔR = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 3 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,05, деформация — 600 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 3 VGF = 2,05ε = 600 µε

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Датчик измеряет расстояние в диапазоне 200 mm, и его выход заполняет весь диапазон входа АЦП. Показание должно различать 0,5 mm. Найдите наименьшее число разрядов N, которое нужно АЦП.

диапазон = 200 mmразрешение = 0,5 mm

N =

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Для аудиоизмерения нужно идеальное отношение сигнал/шум квантования не менее 60 dB для синусоиды на полной шкале. Найдите наименьшее число разрядов АЦП N.

SQNR ≥ 60 dB

N =

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,6 VV₂ = 1,6 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR₃ = 4,7 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 4 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 8,8 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 7,5 + 0,1471 = 7,647 V

Решите делитель

R₂ = 220·7,647/(15 − 7,647) = 228,8 Ω

ΔR = 228,8 − 220 = 8,8 Ω

Ответ

ΔR = 8,8 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 3,69 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,05·600·10⁻⁶ = 0,00123

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 3·0,00123 = 3,69 mV

Ответ

V_o = 3,69 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 9

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Необходимое число шагов

200/0,5 = 400

Разряды

log₂(400) = 8,644

2⁸ = 256 < 400 ≤ 2⁹ = 512

N = 9

Ответ

N = 9

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 10

Решите относительно N

N ≥ (60 − 1,76)/6,02 = 9,674

Округлите вверх

N = 10

проверка: 6,02·10 + 1,76 = 61,96 dB ≥ 60 dB

Ответ

N = 10

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 4,464 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/22 = 3,136

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/3,136 = 4,464 V

Ответ

V_in,max = 4,464 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 12,57 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,6·10/(4,7 + 10) = 1,088 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(47/2)·0,6 + (1 + 47/2)·1,088 = −14,1 + 26,67 = 12,57 V

Ответ

V_out = 12,57 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,7016 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 10·19/(10+19) = 6,552 Ω

R_eq = R₁ + 6,552 = 2 + 6,552 = 8,552 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/8,552 = 0,7016 A

Ответ

I_R1 = 0,7016 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,19 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 3 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 8,8 Ω

R₂ ∥ 8,8 = 3,188 Ω

R_eq = R₁ + 3,188 = 10 + 3,188 = 13,19 Ω

Ответ

R_eq = 13,19 Ω

9.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 3,75 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·3/(5+3) = 1,875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,875 + 4 = 5,875 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·3/(5+3) = 3,75 V

10.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 52,25 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 30 = 31,82 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,182 + 4·1,818 = 9,455 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,455 + 4·30 = 129,5 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 129,5/(31,82 + 4) = 3,614 A

P_L = I_L²·R_L = 3,614²·4 = 52,25 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение узла

Решите делитель

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Выход моста

Ответ

Необходимое число шагов

Разряды

Ответ

Решите относительно N

Округлите вверх

Ответ

Коэффициент усиления

Наибольший вход до ограничения

Ответ

Напряжение на входе +

Наложение двух входов

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода