Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 6 VR₁ = 150 ΩR₂ = 40 ΩR₃ = 50 ΩR₄ = 150 Ω

R_th = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 350 Ω питается напряжением 3 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,1, деформация — 200 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 3 VGF = 2,1ε = 200 µε

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Регистратор дискретизирует 4 каналов с частотой 10 kHz каждый с помощью 16-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 2 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 4f_s = 10 kHzN = 16t = 2 min

M = MB

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Микроконтроллер с тактовой частотой 16 MHz задаёт скорость UART как f_clk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 38400 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

f_clk = 16 MHzцелевая = 38400 Bd

e = %

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,2 VV₂ = 2,5 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = 0,9 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 47 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = 0,9 V

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 69,08 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 150·40/190 = 31,58 Ω

R₃∥R₄ = 50·150/200 = 37,5 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 69,08 Ω

Ответ

R_th = 69,08 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 1,26 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,1·200·10⁻⁶ = 0,00042

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 3·0,00042 = 1,26 mV

Ответ

V_o = 1,26 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 9,6 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈16/8⌉ = 2 B

Скорость в байтах

4·10000·2 = 80000 B/s

Память

M = 80000·120 = 9,6 × 10⁶ B = 9,6 MB

Ответ

M = 9,6 MB

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = 0,1603 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 16·10⁶/(16·38400) = 26,04 → 26

Реальная скорость в бодах

16·10⁶/(16·26) = 38462 Bd

Погрешность

(38462 − 38400)/38400·100 = 0,1603 %

Ответ

e = 0,1603 %

Погрешность ниже примерно 2 % обычно допустима.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 7,872 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2,5·10/(4,7 + 10) = 1,701 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(−1,2 − 1,701)/4,7 = (1,701 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/4,7)·(2,5 − (−1,2)) = 7,872 V

Ответ

V_out = 7,872 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −10,88 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/47 = −2,128

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/4,7 = 5,681

Каскад за каскадом

V₁ = −2,128·0,9 = −1,915 V

V_out = 5,681·(−1,915) = −10,88 V

Ответ

V_out = −10,88 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,304 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 5 + 5,455 = 10,45 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/10,45 = 2,87 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,87·5 = 15,65 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15,65/12 = 1,304 A

Ответ

I_R2 = 1,304 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,254 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 3,158 Ω

R₃ + 3,158 = 18,16 Ω

R₂ ∥ 18,16 = 11,31 Ω

R_eq = R₁ + 11,31 = 2 + 11,31 = 13,31 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/13,31 = 2,254 A

Ответ

I_R1 = 2,254 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 8,333 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 15 = 17,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·15/(3+15) = 8,333 V

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 5,433 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·25/(20+25) = 11,11 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 11,11 + 12 = 23,11 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + 5·11,11 = 65,56 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 65,56 + 5·12 = 125,6 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 125,6/23,11 = 5,433 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Источник замкнут накоротко

Сопротивление Тевенина

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Выход моста

Ответ

Байт на отсчёт

Скорость в байтах

Память

Ответ

Делитель

Реальная скорость в бодах

Погрешность

Ответ

Напряжение на входах

ЗТК на инвертирующем входе

Ответ

Коэффициент усиления каждого каскада

Каскад за каскадом

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода