Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 5 VR₁ = 600 ΩR₂ = 300 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 10 Ω

R_th = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор (GF = 2,12) на элементе с E = 110 GPa образует четвертьмост с напряжением питания 5 V. Выход показывает 1,988 mV. Найдите осевое напряжение σ в MPa.

V_s = 5 VGF = 2,12V_o = 1,988 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Датчик измеряет давление в диапазоне 250 kPa, и его выход заполняет весь диапазон входа АЦП. Показание должно различать 1 kPa. Найдите наименьшее число разрядов N, которое нужно АЦП.

диапазон = 250 kPaразрешение = 1 kPa

N =

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

24-разрядный АЦП передаёт каждый отсчёт по UART на скорости 19200 бод в формате 8N1 (стартовый бит, 8 битов данных, 1 стоповый бит). Каждый отсчёт передаётся 3 целыми байтами, и канал занят всё время. Найдите наивысшую частоту сигнала f_max, которую можно дискретизировать без наложения спектров, в Hz.

baud = 19200 BdN = 248N1

f_max = Hz

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 0,7 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 1,8 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 5 ms.

V_in = 1,8 VR = 2,2 kΩC = 4,7 µFV_sat = ±14 Vt = 5 ms

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 209,4 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 600·300/900 = 200 Ω

R₃∥R₄ = 150·10/160 = 9,375 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 209,4 Ω

Ответ

R_th = 209,4 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: σ = 82,52 MPa

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Деформация

ε = 4·0,001988/(5·2,12) = 0,0007502

Напряжение

σ = 110·10³ MPa·0,0007502 = 82,52 MPa

Ответ

σ = 82,52 MPa

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 8

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Необходимое число шагов

250/1 = 250

Разряды

log₂(250) = 7,966

2⁷ = 128 < 250 ≤ 2⁸ = 256

N = 8

Ответ

N = 8

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_max = 320 Hz

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит на отсчёт на линии

3·10 = 30 bit

Наивысшая частота дискретизации

f_s,max = 19200/30 = 640 Hz

Предел Найквиста

f_max = 640/2 = 320 Hz

Ответ

f_max = 320 Hz

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 1,4 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 0,7 V

I = V₋/R₁ = 0,7/4,7 = 0,1489 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 0,7 + 0,1489·4,7 = 1,4 V

Ответ

V_out = 1,4 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,8704 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 2,2 kΩ · 4,7 µF = 10,34 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −1,8/10,34 = −0,1741 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1,8·5/10,34 = −0,8704 V

Ответ

V_out = −0,8704 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8515 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9,744 Ω

R_eq = R₁ + 9,744 = 2 + 9,744 = 11,74 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,74 = 0,8515 A

Ответ

I_R1 = 0,8515 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,855 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 11,11 Ω

R₃ + 11,11 = 15,11 Ω

R₂ ∥ 15,11 = 8,608 Ω

R_eq = R₁ + 8,608 = 4 + 8,608 = 12,61 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/12,61 = 2,855 A

Ответ

I_R1 = 2,855 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,8333 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,308 + 6 = 8,308 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·3/(10+3) = 6,923 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 6,923/8,308 = 0,8333 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 2,188 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 20 = 22,86 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,286 + 2·2,857 = 10 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10 + 2·20 = 50 V

Эквивалент Нортона

I_N = V_th/R_th = 50/22,86 = 2,188 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Источник замкнут накоротко

Сопротивление Тевенина

Ответ

Деформация

Напряжение

Ответ

Необходимое число шагов

Разряды

Ответ

Бит на отсчёт на линии

Наивысшая частота дискретизации

Предел Найквиста

Ответ

Инвертирующий вход повторяет вход

Выходное напряжение

Ответ

Входной ток и скорость нарастания

Выходное напряжение в заданный момент

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода