Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 100 Ω и V_s = 15 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 0,1 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 15 VR = 100 ΩΔR = 0,1 Ω

V_ab = mV

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор 120 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2,05 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,1845 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 120 ΩGF = 2,05ΔR = 0,1845 Ω

ε = µε

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

8-разрядный АЦП с диапазоном входа от 0 до 3,3 V отбрасывает остаток: его выходной код равен ⌊V_in/LSB⌋ при 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Найдите десятичный выходной код D для входного напряжения 2,673 V.

N = 8V_FSR = 3,3 VV_in = 2,673 V

D =

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Датчик температуры выдаёт 20 mV/°C (0 V при 0 °C). Его сигнал усиливается в 10 раз и подаётся на 12-разрядный АЦП с диапазоном от 0 до 5 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Найдите изменение температуры ΔT_LSB, соответствующее одному LSB.

S = 20 mV/°CG = 10N = 12V_FSR = 5 V

ΔT_LSB = °C

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1,6 VR₁ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,7 VV₂ = −0,8 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 10 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 3,75 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 0,1/100 = 0,001

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 15·0,001/4 = 3,75 mV

Ответ

V_ab = 3,75 mV

Точное значение равно 3,748 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 750 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,1845/120 = 0,001537

Деформация

ε = 0,001537/2,05 = 0,00075 = 750 µε

Ответ

ε = 750 µε

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: D = 207

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 3,3/2⁸ = 12,89 mV

Код

V_in/LSB = 2673/12,89 = 207,4

код = ⌊207,4⌋ = 207

Ответ

D = 207

В двоичном виде это 11001111.

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: ΔT_LSB = 0,006104 °C

Шаг квантования

1 LSB = 5000/4096 = 1,221 mV

Чувствительность на входе АЦП

20·10 = 200 mV/°C

Температурное разрешение

ΔT_LSB = 1,221/200 = 0,006104 °C

Ответ

ΔT_LSB = 0,006104 °C

АЦП достигает полной шкалы при 25 °C.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 3,2 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 1,6 V

I = V₋/R₁ = 1,6/1 = 1,6 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,6 + 1,6·1 = 3,2 V

Ответ

V_out = 3,2 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 1,163 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,7/22 = −0,07727 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,8/4,7 = −0,1702 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,2475 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·(−0,2475) = 1,163 V

Ответ

V_out = 1,163 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,3556 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6,875 Ω

R_eq = R₁ + 6,875 = 10 + 6,875 = 16,88 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/16,88 = 0,3556 A

Ответ

I_R1 = 0,3556 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2289 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 6,296 Ω

R₃ + 6,296 = 10,3 Ω

R₂ ∥ 10,3 = 7,293 Ω

R_eq = R₁ + 7,293 = 8 + 7,293 = 15,29 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/15,29 = 0,7847 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,7847·8 = 5,723 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,723/25 = 0,2289 A

Ответ

I_R2 = 0,2289 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,3273 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 4 = 5,714 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·3/(4+3) = 5,143 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5,143/(5,714 + 10) = 0,3273 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = −3,286 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 10·30/(10+30) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 3 = 10,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + (−5)·7,5 = −19,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −19,5 + (−5)·3 = −34,5 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = −34,5/10,5 = −3,286 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Относительное изменение

Линеаризованный выход

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Деформация

Ответ

Шаг квантования

Код

Ответ

Шаг квантования

Чувствительность на входе АЦП

Температурное разрешение

Ответ

Инвертирующий вход повторяет вход

Выходное напряжение

Ответ

Входные токи

Выходное напряжение

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода