Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 50 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 9 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 9 VR₁ = 60 ΩR₂ = 200 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 80 ΩR_g = 50 Ω

I_g = µA

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор 120 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2,05 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,0615 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 120 ΩGF = 2,05ΔR = 0,0615 Ω

ε = µε

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Синусоида 7 kHz дискретизируется с частотой 5 kHz без антиэлайзингового фильтра. На какой частоте f_a она появится в отсчётах? Дайте ответ в Hz.

f = 7 kHzf_s = 5 kHz

f_a = Hz

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Микроконтроллер с тактовой частотой 8 MHz задаёт скорость UART как f_clk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 4800 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

f_clk = 8 MHzцелевая = 4800 Bd

e = %

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 2.

R₁ = 1 kΩA_v = 2

R_f = kΩ

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = 0,9 VV₂ = −0,5 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 8 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 36 VI_s = 0,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 25569 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 9·(200/260 − 80/230) = 3,793 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 98,33 Ω

Ток гальванометра

I_g = 3,793/(98,33 + 50) = 25569 µA

Ответ

I_g = 25569 µA

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 250 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,0615/120 = 0,0005125

Деформация

ε = 0,0005125/2,05 = 0,00025 = 250 µε

Ответ

ε = 250 µε

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 2000 Hz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота Найквиста

f_s/2 = 2,5 kHz < f = 7 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

k = round(7000/5000) = 1

Ложная частота

f_a = |7000 − 1·5000| = 2000 Hz

Ответ

f_a = 2000 Hz

Штриховая кривая на рисунке — это ложная частота: она проходит ровно через те же отсчёты.

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = 0,1603 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 8·10⁶/(16·4800) = 104,2 → 104

Реальная скорость в бодах

8·10⁶/(16·104) = 4808 Bd

Погрешность

(4808 − 4800)/4800·100 = 0,1603 %

Ответ

e = 0,1603 %

Погрешность ниже примерно 2 % обычно допустима.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 1 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (2 − 1)·1 = 1 kΩ

Ответ

R_f = 1 kΩ

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,3085 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 0,9/4,7 = 0,1915 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,5/1 = −0,5 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,3085 mA

Ответ

I_f = −0,3085 mA

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,634 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 12·35/(12+35) = 8,936 Ω

R_eq = R₁ + 8,936 = 2 + 8,936 = 10,94 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10,94 = 2,195 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,195·2 = 19,61 V

I_R2 = V_A/R₂ = 19,61/12 = 1,634 A

Ответ

I_R2 = 1,634 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 22,75 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 6 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 4,444 Ω

R₃ + 4,444 = 10,44 Ω

R₂ ∥ 10,44 = 7,747 Ω

R_eq = R₁ + 7,747 = 15 + 7,747 = 22,75 Ω

Ответ

R_eq = 22,75 Ω

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 12,57 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 4 = 12,57 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,3125 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 5 = 8 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + (−0,5)·3 = 7,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7,5 + (−0,5)·5 = 5 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5/(8 + 8) = 0,3125 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение Тевенина

Сопротивление Тевенина

Ток гальванометра

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Деформация

Ответ

Частота Найквиста

Ближайшее кратное частоты дискретизации

Ложная частота

Ответ

Делитель

Реальная скорость в бодах

Погрешность

Ответ

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Входные токи

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода