Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 100 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 100 Ω и напряжением питания 10 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 10 VR = 100 Ω

P_g = mW

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,12) питается напряжением 2,5 V. Под нагрузкой выход показывает 0,795 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 2,5 VGF = 2,12V_o = 0,795 mV

ε = µε

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

8-разрядный АЦП с диапазоном входа от 0 до 5 V отбрасывает остаток: его выходной код равен ⌊V_in/LSB⌋ при 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Найдите десятичный выходной код D для входного напряжения 4,583 V.

N = 8V_FSR = 5 VV_in = 4,583 V

D =

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

6-канальный мультиплексор подаёт сигналы на один АЦП. Каждое преобразование занимает 2 µs, а после каждого переключения канала входу нужно 1 µs для установления. Каналы опрашиваются по очереди без пауз. Найдите частоту дискретизации f_s каждого канала в kHz.

n = 6t_c = 2 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 3.

R₁ = 2 kΩA_v = 3

R_f = kΩ

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,6 VV₂ = 1,2 VR₁ = 100 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 6 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 30 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 10 VI_s = 0,5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 250 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 10/2 = 5 V

Мощность

P_g = 5²/100 = 250 mW

Ответ

P_g = 250 mW

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 600 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,000795/(2,5·2,12) = 0,0006

В микродеформациях

ε = 600 µε

Ответ

ε = 600 µε

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: D = 234

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 5/2⁸ = 19,53 mV

Код

V_in/LSB = 4583/19,53 = 234,6

код = ⌊234,6⌋ = 234

Ответ

D = 234

В двоичном виде это 11101010.

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_s = 55,56 kHz

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Время на канал

2 + 1 = 3 µs

Время на опрос

6·3 = 18 µs

Частота дискретизации на канал

f_s = 1/18 µs = 55,56 kHz

Ответ

f_s = 55,56 kHz

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 4 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (3 − 1)·2 = 4 kΩ

Ответ

R_f = 4 kΩ

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,8095 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,2·22/(10 + 22) = 0,825 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(2/100)·1,6 + (1 + 2/100)·0,825 = −0,032 + 0,8415 = 0,8095 V

Ответ

V_out = 0,8095 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3913 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 12 + 3,333 = 15,33 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15,33 = 0,587 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,587·12 = 1,957 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,957/5 = 0,3913 A

Ответ

I_R2 = 0,3913 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9029 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 12,31 Ω

R₃ + 12,31 = 15,31 Ω

R₂ ∥ 15,31 = 6,049 Ω

R_eq = R₁ + 6,049 = 4 + 6,049 = 10,05 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10,05 = 1,493 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,493·4 = 9,029 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,029/10 = 0,9029 A

Ответ

I_R2 = 0,9029 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,2732 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,077 + 5 = 8,077 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·5/(8+5) = 3,846 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,846/(8,077 + 6) = 0,2732 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 3,205 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 6 = 8,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,333 + 0,5·2,5 = 9,583 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,583 + 0,5·6 = 12,58 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12,58/(8,5 + 30) = 0,3268 A

P_L = I_L²·R_L = 0,3268²·30 = 3,205 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение на тензорезисторе

Мощность

Ответ

Решите уравнение четвертьмоста

В микродеформациях

Ответ

Шаг квантования

Код

Ответ

Время на канал

Время на опрос

Частота дискретизации на канал

Ответ

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Напряжение на входе +

Наложение двух входов

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода