Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 2 VR₁ = 500 ΩR₂ = 500 ΩR₃ = 200 ΩR₄ = 600 Ω

R_th = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 5 V; конфигурация: один активный тензорезистор (четвертьмост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,05, деформация — 200 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 5 VGF = 2,05ε = 200 µε

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Синусоида 7,4 kHz дискретизируется с частотой 4 kHz без антиэлайзингового фильтра. На какой частоте f_a она появится в отсчётах? Дайте ответ в Hz.

f = 7,4 kHzf_s = 4 kHz

f_a = Hz

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Микроконтроллер с тактовой частотой 8 MHz задаёт скорость UART как f_clk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 115200 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

f_clk = 8 MHzцелевая = 115200 Bd

e = %

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 10.

R₁ = 22 kΩA_v = 10

R_f = kΩ

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,7 VV₂ = 1,6 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 15 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 5 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 400 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 500·500/1000 = 250 Ω

R₃∥R₄ = 200·600/800 = 150 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 400 Ω

Ответ

R_th = 400 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 0,5125 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,05·200·10⁻⁶ = 0,00041

Выход моста

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 5·0,00041/4 = 0,5125 mV

Ответ

V_o = 0,5125 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 600 Hz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота Найквиста

f_s/2 = 2 kHz < f = 7,4 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

k = round(7400/4000) = 2

Ложная частота

f_a = |7400 − 2·4000| = 600 Hz

Ответ

f_a = 600 Hz

Штриховая кривая на рисунке — это ложная частота: она проходит ровно через те же отсчёты.

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = 8,507 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 8·10⁶/(16·115200) = 4,34 → 4

Реальная скорость в бодах

8·10⁶/(16·4) = 125000 Bd

Погрешность

(125000 − 115200)/115200·100 = 8,507 %

Ответ

e = 8,507 %

Погрешность выше примерно 2 % делает канал ненадёжным: выберите другую тактовую частоту или скорость.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 198 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (10 − 1)·22 = 198 kΩ

Ответ

R_f = 198 kΩ

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,323 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,7/4,7 = 0,3617 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,6/2 = 0,8 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,162 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −2·1,162 = −2,323 V

Ответ

V_out = −2,323 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 4,571 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2,25 Ω

R_eq = R₁ + 2,25 = 3 + 2,25 = 5,25 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/5,25 = 4,571 A

Ответ

I_R1 = 4,571 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,036 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 8 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 7,742 Ω

R₃ + 7,742 = 27,74 Ω

R₂ ∥ 27,74 = 9,736 Ω

R_eq = R₁ + 9,736 = 25 + 9,736 = 34,74 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/34,74 = 1,036 A

Ответ

I_R1 = 1,036 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,4122 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 2 = 3,714 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·3/(4+3) = 7,714 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7,714/(3,714 + 15) = 0,4122 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = −4,98 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·3/(20+3) = 2,609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,609 + 30 = 32,61 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0,6522 + (−5)·2,609 = −12,39 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −12,39 + (−5)·30 = −162,4 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = −162,4/32,61 = −4,98 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Источник замкнут накоротко

Сопротивление Тевенина

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Выход моста

Ответ

Частота Найквиста

Ближайшее кратное частоты дискретизации

Ложная частота

Ответ

Делитель

Реальная скорость в бодах

Погрешность

Ответ

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Входные токи

Выходное напряжение

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода