Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 60 mm, длиной 300 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 30 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 75 mm и длину 0,8 m; участок BC — диаметр 30 mm и длину 1 m. На свободном конце C действует крутящий момент 400 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 400 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 10 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 2 kN/m от 0 до 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 35 kN в 1,5 mw = 12 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmвырез: 60 × 20 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = 50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 29 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 45 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 45 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 870,4 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/200000 = 0,0008704 = 870,4 µε

Ответ

ε = 870,4 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 7,818 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 30000·659734/895354 = 22105 N

Напряжение

σ₂ = 22105/2827 = 7,818 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 7,818 MPa

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 75,45 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·75³) = 4,829 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Ответ

τ_max = 75,45 MPa

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 11,12 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·20/171806 = 11,12 MPa

Ответ

τ_max = 11,12 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 6·1 − 2·1·0,5 = 5 kN·m

Ответ

M_x = 5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 55,31 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1,5 + 12·4·2

R_B = 148,5/4 = 37,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 37,13 = 45,88 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 45,88·1,5 − 12·1,5·0,75 = 55,31 kN·m

Ответ

M_x = 55,31 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 8,858 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стенка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·150 + 1400·70)/5000 = 127,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·20³/12 + 3600·(150 − 127,6)² = 1,926 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 127,6)² = 6,932 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,926 × 10⁶ + 6,932 × 10⁶ = 8,858 × 10⁶ mm⁴ = 8,858 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 8,858 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 447,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1200·105)/(60000 − 1200) = 150,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,9184² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·20³/12 + 1200·−45,92² = 2,57 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 447,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 447,5 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −16,14 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 130 − −60) = −32,28°

Угол на элементе

θ_p = −16,14°

Ответ

θ_p = −16,14°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 57,45 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 30 MPa, R = 28,28 MPa

σ₁ = 58,28 MPa, σ₂ = 1,716 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(58,28² − 58,28·1,716 + 1,716²) = 57,45 MPa

Ответ

σ_vM = 57,45 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,004482 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,004482 rad

Ответ

θ_A = 0,004482 rad

Это 0,2568°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,464 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·5000³/(48·1,68 × 10¹³) = 4,495 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 0,9688 mm

Сложите

δ_max = 4,495 + 0,9688 = 5,464 mm

Ответ

δ_max = 5,464 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,55 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Ответ

P_cr = 23,55 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 33,64 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 33,64 mm

Ответ

d = 33,64 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 124,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials