Сопротивление материалов: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Напряжения, деформации и перемещения стержней, валов, балок и колонн. Экзаменационные задачи сочетают шаг по статике (внутренние усилия) с шагом по сопромату (напряжение или прогиб), поэтому ошибка на первом шаге переходит дальше.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Осевое напряжение и деформациянормальное напряжение · деформация и удлинение · ступенчатый стерженьрасчёты
  2. Кручение валовкасательное напряжение · угол закручивания · передача мощностирасчёты
  3. Поперечная сила и изгибающий моментсосредоточенная сила · распределённая нагрузка на весь пролёт · сосредоточенная сила + распределённая нагрузкарасчёты
  4. Центр тяжести и момент инерциицентр тяжести · момент инерции · напряжение изгибарасчёты
  5. Круг Мора и преобразование напряженийглавные напряжения · наибольшее касательное напряжение и главное направление · напряжения на наклонной площадкерасчёты
  6. Прогиб балкиконсоль, сила на конце · равномерная нагрузка · суперпозиция и проектированиерасчёты
  7. Устойчивость колонншарнирные концы · другие условия закрепления · проектирование и критическое напряжениерасчёты

Советы к экзамену: Сопротивление материалов

  • Используйте согласованные единицы: ньютоны и миллиметры сразу дают напряжения в MPa.
  • При кручении в формуле τ = T·r/J используйте радиус, а не диаметр.
  • При расчёте на устойчивость проверьте условия закрепления концов: приведённая длина может изменить критическую нагрузку в 16 раз.

Разобранные примеры

Осевое напряжение и деформацияЛёгкая
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 500 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите напряжение сжатия σr в стержне.

P = 300 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Найти: σr (MPa)

Показать подсказки
  1. Жёсткие плиты: стержень и труба укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому ε в обоих одинакова.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Показать ответ и пошаговое решение

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Общая деформация

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Напряжение в стержне

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Ответ

σr = 70,74 MPa
Кручение валовСредняя
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Найти: φ (°)

Показать подсказки
  1. Используйте φ = TL/(GJ), что даёт радианы.
  2. Везде используйте N и mm: T в N·mm, L в mm, G в MPa (GPa × 1000), J в mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Показать ответ и пошаговое решение

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Ответ

φ = 6,576°

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор прогиба балкиКалькулятор эпюр поперечной силы и изгибающего моментаКалькулятор кручения валаКалькулятор осевого напряжения и деформацииКалькулятор устойчивости по ЭйлеруКалькулятор круга МораКалькулятор момента инерции (осевой момент инерции сечения)Калькулятор изгибного напряжения (σ = My/I)Калькулятор теплового расширенияКалькулятор центра тяжести (составные фигуры и многоугольники)

Похожие курсы

Подготовка к экзамену FE MechanicalДетали машинПодготовка к экзамену FE CivilСтроительная механикаСтатикаДинамикаТермодинамика 1Механика жидкости
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.