Устойчивость колонн: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: продольный изгиб · формула Эйлера · критическая сила · гибкость

Бесплатные задачи по теме Устойчивость колонн с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: шарнирные концы, другие условия закрепления, проектирование и критическое напряжение.

Бесплатная задачаЛёгкая
PL = 2,5 m40 × 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm
kN
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Устойчивость колоннЗанимайтесь сейчас: Устойчивость колоннБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяшарнирные концы
  2. Средняядругие условия закрепления
  3. Сложнаяпроектирование и критическое напряжение

Основные формулы

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

Изучите тему «Устойчивость колонн» с нуля

Перед этим: Центр тяжести и момент инерции

1Что такое потеря устойчивости

Надавите на оба конца пластиковой линейки. Сначала кажется, что ничего не происходит. А потом она довольно внезапно выгибается в сторону. Это и есть потеря устойчивости (продольный изгиб).

Колонна (стойка) — это элемент, нагруженный сжатием вдоль длины: колонна здания, подкос крыши, шток поршня.

PL

Короткая толстая колонна разрушается от раздавливания: напряжение P/A достигает прочности материала. Длинная гибкая колонна теряет устойчивость при гораздо меньшей нагрузке, когда напряжение ещё намного ниже этой прочности.

Нагрузка, при которой гибкая колонна теряет устойчивость, — это её критическая нагрузка Pcr. Выше неё колонна неустойчива и не выдерживает.

Самопроверка Две стальные колонны имеют одинаковое поперечное сечение. Одна длиной 2 m, другая 4 m. Какая теряет устойчивость при меньшей нагрузке?
  1. Колонна длиной 2 m
  2. Колонна длиной 4 m
  3. Ни одна: стальные колонны не могут терять устойчивость
  4. Обе при одинаковой нагрузке

Ответ: Колонна длиной 4 m. Более длинная колонна более гибкая и теряет устойчивость легче. Длина — важнейший фактор при потере устойчивости.

2Формула Эйлера

Леонард Эйлер нашёл критическую нагрузку гибкой колонны:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E — модуль Юнга материала: 200 GPa для стали.
  • I — момент инерции сечения. Берите наименьший: колонна изгибается в более лёгком направлении.
  • L — длина, а K — коэффициент приведения длины, который зависит от способа закрепления концов.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Шарнирный конец может поворачиваться; жёстко заделанный — нет. Более прочное закрепление концов даёт меньшую расчётную длину KL и значительно большее Pcr, потому что KL возводится в квадрат.

Для круглого стержня I = π·d⁴/64. Для прямоугольника b × h, где b — меньшая сторона, Imin = h·b³/12.

Самопроверка Колонна с шарнирами на обоих концах имеет Pcr = 100 kN. Ту же колонну заделали в основании и оставили свободной сверху (K = 2). Чему теперь равно Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Ответ: 25 kN. Pcr делится на K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN получается, если забыть возвести K в квадрат; 200 и 400 kN — если умножать вместо деления.

3Гибкость и критическое напряжение

Если разделить Pcr на площадь, получится критическое напряжение. Удобнее всего записать его через радиус инерции r и гибкость λ (лямбда):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Для сплошного круглого стержня r = d/4.

Формула Эйлера верна, только пока σcr остаётся ниже предела текучести материала. Для конструкционной стали это означает гибкость примерно λ > 100. Более коренастые колонны разрушаются от текучести или от сочетания обоих механизмов, и для них нужны другие правила проектирования.

Самопроверка Прямоугольное сечение колонны имеет размеры 20 mm × 40 mm. Чему равен наименьший момент инерции сечения?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Ответ: 26 667 mm⁴. Для слабой оси в куб возводится меньшая сторона: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 — это сильная ось; 320 000 получается, если забыть /12; 7854 — по формуле для круга.

4Метод по шагам

  1. Определите условия закрепления концов и выберите K: 1, 2, 0,7 или 0,5.
  2. Найдите наименьший I сечения, в mm⁴.
  3. Переведите в N и mm: L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000).
  4. Расчётная длина: KL.
  5. Критическая нагрузка: Pcr = π²EI/(KL)², в N. Разделите на 1000, чтобы получить kN.
  6. Если требуется, проверьте гибкость KL/r или критическое напряжение Pcr/A.

В задаче на проектирование с коэффициентом запаса n колонна должна иметь Pcr = n·P. Решите формулу Эйлера относительно I, а затем найдите диаметр.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Сплошная круглая стальная колонна (E = 200 GPa) диаметром 40 mm и длиной 2 m имеет шарниры на обоих концах. Найдите её критическую нагрузку Pcr. Затем найдите её ещё раз для той же колонны, заделанной в основании и свободной сверху.

1

Посмотрите на колонну

PL = 2 m

Шарниры на обоих концах, поэтому K = 1 и KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Момент инерции сечения

У круглого сечения I одинаков относительно любой оси:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Критическая сила

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Проверьте, применима ли формула Эйлера

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Это значительно ниже предела текучести стали (около 250 MPa), значит, колонна гибкая и формула Эйлера применима.

5

Заделка в основании, свободный верх

Теперь K = 2, поэтому расчётная длина удваивается до 4000 mm, а Pcr уменьшается в 2² = 4 раза:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Ответ

Pcr = 62,0 kN при шарнирах на обоих концах и 15,5 kN при заделке в основании и свободном верхе.

6Типичные ошибки

  • Выбрать неверное K или забыть возвести его в квадрат.
  • Брать больший I прямоугольника. Колонна всегда теряет устойчивость относительно слабой оси.
  • Смешивать единицы: L в метрах, а E в N/mm². Работайте везде в N и mm.
  • Использовать π·d⁴/32 (полярный момент J из кручения) вместо π·d⁴/64.
  • Применять формулу Эйлера к короткой коренастой колонне, критическое напряжение которой превысило бы предел текучести.
Самопроверка Колонна с шарнирами на обоих концах имеет Pcr = 40 kN. Та же колонна жёстко заделана на обоих концах (K = 0,5). Чему равно Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Ответ: 160 kN. Pcr делится на K² = 0,25, поэтому становится в четыре раза больше: 160 kN. 80 kN получается, если забыть возвести K в квадрат; 10 kN — если умножать на K² вместо деления.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: шарнирные концы. Найдите Pcr круглой или прямоугольной стальной либо алюминиевой колонны.
  • Средняя: другие условия закрепления. Тот же вопрос с K = 2, 0,7 или 0,5.
  • Сложная: проектирование и критическое напряжение. Найдите наименьший диаметр, выдерживающий нагрузку с коэффициентом запаса, либо найдите гибкость и σcr.

Для задачи проектирования с круглым стержнем: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
PL = 5 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

Найти: Pcr (kN)

Показать подсказки
  1. Эйлер: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Коэффициент расчётной длины: K = 1 для колонны, которая шарнирно оперта с обоих концов.
  3. I = 306796 mm⁴.
Показать ответ и пошаговое решение

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Ответ

Pcr = 8,478 kN
Пример 2Средняя
PL = 2,5 md = 30 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

Найти: Pcr (kN)

Показать подсказки
  1. Эйлер: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Коэффициент расчётной длины: K = 2 для колонны, которая защемлена внизу и свободна вверху.
  3. I = 39761 mm⁴.
Показать ответ и пошаговое решение

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Ответ

Pcr = 3,139 kN
Пример 3Сложная
PL = 2,5 md = 25 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

Найти: σcr (MPa)

Показать подсказки
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², где r = √(I/A) — радиус инерции.
  2. Используйте наименьший I, потому что колонна теряет устойчивость относительно самой слабой оси.
  3. r = 6,25 mm.
Показать ответ и пошаговое решение

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Ответ

σcr = 4,318 MPa

Вопросы и ответы

Устойчивость колонн: что это?

Надавите на оба конца пластиковой линейки. Сначала кажется, что ничего не происходит. А потом она довольно внезапно выгибается в сторону. Это и есть потеря устойчивости (продольный изгиб).

Короткая толстая колонна разрушается от раздавливания: напряжение P/A достигает прочности материала. Длинная гибкая колонна теряет устойчивость при гораздо меньшей нагрузке, когда напряжение ещё намного ниже этой прочности.

Устойчивость колонн: как решать задачи шаг за шагом?

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Устойчивость колонн: что вы тренируете?
  • Лёгкая: шарнирные концы
  • Средняя: другие условия закрепления
  • Сложная: проектирование и критическое напряжение

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Центр тяжести и момент инерции

Калькуляторы

Калькулятор устойчивости по Эйлеру

Курсы с этой темой

Сопротивление материаловСтроительная механикаДетали машинПодготовка к экзамену FE MechanicalПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий моментФерма: метод вырезания узловПрогиб балкиЦентр тяжести и момент инерцииЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаГидростатическое давлениеТечение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Устойчивость колонн: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Устойчивость колоннЗанимайтесь сейчас: Устойчивость колоннБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.