Центр тяжести и момент инерции: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: геометрические характеристики сечений · осевой момент инерции · теорема Штейнера

Бесплатные задачи по теме Центр тяжести и момент инерции с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: центр тяжести, момент инерции, напряжение изгиба.

Бесплатная задачаЛёгкая
1002516012ȳ = ?размеры в mm

Найдите высоту ȳ центра тяжести таврового сечения над нижним краем.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Центр тяжести и момент инерцииЗанимайтесь сейчас: Центр тяжести и момент инерцииБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяцентр тяжести
  2. Средняямомент инерции
  3. Сложнаянапряжение изгиба

Основные формулы

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Изучите тему «Центр тяжести и момент инерции» с нуля

1Почему важна форма сечения

Разрежьте балку поперёк и посмотрите на грань разреза. Эта форма — поперечное сечение, или просто сечение.

Возьмите деревянную доску 100 × 20 mm. Положите её плашмя через промежуток, и она сильно прогнётся. Поставьте ту же доску на ребро, и она станет намного жёстче, хотя площадь у неё точно такая же.

1002020100ab

Важно, как далеко материал находится от оси, вокруг которой изгибается балка. Материал вдали от этой оси работает гораздо сильнее.

Это описывают два свойства. Центр тяжести — это геометрический центр сечения: балка изгибается вокруг оси, проходящей через него. Момент инерции сечения I показывает, как далеко площадь распределена от этой оси.

Самопроверка Одна и та же доска используется плашмя (a) и на ребре (b), изгибаясь вокруг горизонтальной оси. Какая жёстче?
  1. На ребре (b)
  2. Одинаковые, так как площадь одна и та же
  3. Плашмя (a)
  4. Это зависит только от материала

Ответ: На ребре (b). На ребре материал находится дальше от оси изгиба. Площадь та же, но важно её расстояние до оси.

2Центр тяжести составного сечения

У прямоугольника центр тяжести посередине. Многие сечения балок, например тавр, состоят из прямоугольников.

Разбейте сечение на прямоугольники. Для каждого найдите его площадь Ai и высоту yi его собственного центра тяжести, измеряемую от одной базовой линии, обычно нижнего края.

Центр тяжести всего сечения — это среднее этих высот, взвешенное по площадям:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Большая часть притягивает центр тяжести к себе. В тавровом сечении с полкой сверху центр тяжести находится выше середины высоты.

Самопроверка У части 1 A = 3000 mm² при y = 20 mm. У части 2 A = 1000 mm² при y = 100 mm. Где находится центр тяжести?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Ответ: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm — простое среднее высот, которое игнорирует площади. 80 mm меняет площади местами.

3Момент инерции сечения

Для прямоугольника шириной b и высотой h при изгибе вокруг горизонтальной оси через его собственный центр тяжести:

Ic = b · h³ / 12

Высота возводится в куб, поэтому доска на ребре в 25 раз жёстче: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Для составного сечения каждая часть находится на некотором расстоянии d от оси через общий центр тяжести. Теорема о параллельных осях добавляет слагаемое на этот сдвиг:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Единица — mm⁴. Числа получаются большими, поэтому ответы часто даются как «× 10⁶ mm⁴».

Когда у вас есть I, напряжение изгиба на расстоянии y от центральной оси следует из изгибающего момента M:

σ = M · y / I
Самопроверка Прямоугольник шириной 100 mm и высотой 20 mm: чему равен I относительно его собственной горизонтальной центральной оси?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Ответ: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 меняет b и h местами (это доска на ребре); 800 000 забывает разделить на 12.

4Метод по шагам

  1. Разбейте сечение на прямоугольники и пронумеруйте их.
  2. Для каждой части: площадь Ai и высота центра тяжести yi, всё от нижнего края.
  3. Центр тяжести: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Для каждой части: собственный Ic = bh³/12 и расстояние di = yi − ȳ.
  5. Сложите: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Если спрашивается напряжение: σ = M·y/I, где y — расстояние от оси до нужного края.

Небольшая таблица со столбцами A, y, A·y, Ic, d и A·d² сохраняет порядок во всём.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Тавровое сечение имеет полку 100 × 20 mm поверх стенки 20 × 100 mm. Найдите высоту центра тяжести ȳ, момент инерции сечения Ix и напряжения изгиба на верхнем и нижнем краях при положительном (прогибающем) моменте 4 kN·m.

1

Разбейте на два прямоугольника

100201002012

Полка (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², центр тяжести на y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Стенка (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², центр тяжести на y2 = 50 mm.

2

Центр тяжести

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

Две площади равны, поэтому ȳ находится посередине между 110 и 50 mm.

3

Собственные моменты инерции

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Слагаемые параллельных осей

1002010020xȳ = 80

Каждый центр тяжести находится в 30 mm от оси x: d1 = 110 − 80 = 30 mm и d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Для каждой части:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Полный момент инерции сечения

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Напряжения изгиба

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Нижний край находится в 80 mm от оси, верхний — в 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Нижний край растянут, а верхний сжат, как в любой прогибающейся балке.

Ответ

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa и σtop = 30 MPa.

6Типичные ошибки

  • Забытое слагаемое A·d². Без него вы складываете только собственные значения I частей, что намного слишком мало.
  • Измерение высот yi от разных базовых линий. Выберите нижний край и придерживайтесь его.
  • Использование d от нижнего края вместо общего центра тяжести.
  • Перестановка b и h в bh³/12. В куб возводится размер, перпендикулярный оси изгиба.
  • Использование неверного расстояния до края в σ = M·y/I. Наибольшее напряжение — на краю, наиболее удалённом от оси.
Самопроверка Прямоугольник 100 × 20 mm (ширина × высота) имеет центр тяжести в 50 mm от оси x. Каков его вклад в Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Ответ: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ забывает A·d²; 5,00 × 10⁶ забывает собственное слагаемое; 6,67 × 10⁶ использует 1 666 667 (b и h поменяны местами) плюс A·d².

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: центр тяжести. Найдите ȳ таврового сечения над его нижним краем. Варианты: уголковое сечение или I одного прямоугольника, круга (πd⁴/64) или коробчатого сечения.
  • Средняя: момент инерции сечения. Найдите Ix таврового сечения относительно его центральной оси. Варианты: двутавровые сечения, швеллеры и радиус инерции r = √(I/A).
  • Сложная: напряжение изгиба. Тавровое сечение несёт момент M; найдите напряжение на верхнем или нижнем краю по σ = M·y/I.

Заданные размеры: bf и tf для полки, tw и hw для стенки.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
260102808ȳ = ?размеры в mm

Найдите высоту ȳ центра тяжести таврового сечения над нижним краем.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Найти: ȳ (mm)

Показать подсказки
  1. Разбейте тавр на полку и стенку и найдите площадь и высоту центра тяжести каждой.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, каждое y отсчитано от нижнего края.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Показать ответ и пошаговое решение

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
стенка: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Ответ

ȳ = 217,9 mm
Пример 2Средняя
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Пластина 100 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 156 mm

Найти: Ix (× 10⁶ mm⁴)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите центр тяжести: пластина минус отверстие.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Затем I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) относительно ȳ.
Показать ответ и пошаговое решение

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Пример 3Сложная
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Пластина 100 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 200 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 120 mm

Найти: Ix (× 10⁶ mm⁴)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите центр тяжести: пластина минус отверстие.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Затем I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) относительно ȳ.
Показать ответ и пошаговое решение

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Вопросы и ответы

Центр тяжести и момент инерции: что это?

Разрежьте балку поперёк и посмотрите на грань разреза. Эта форма — поперечное сечение, или просто сечение.

Возьмите деревянную доску 100 × 20 mm. Положите её плашмя через промежуток, и она сильно прогнётся. Поставьте ту же доску на ребро, и она станет намного жёстче, хотя площадь у неё точно такая же.

Центр тяжести и момент инерции: как решать задачи шаг за шагом?

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести и момент инерции: что вы тренируете?
  • Лёгкая: центр тяжести
  • Средняя: момент инерции
  • Сложная: напряжение изгиба

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Устойчивость колоннПрогиб балки

Калькуляторы

Калькулятор момента инерции (осевой момент инерции сечения)Калькулятор центра тяжести (составные фигуры и многоугольники)

Курсы с этой темой

СтатикаСопротивление материаловПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий моментФерма: метод вырезания узловПрогиб балкиУстойчивость колоннЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаГидростатическое давлениеТечение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Центр тяжести и момент инерции: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Центр тяжести и момент инерцииЗанимайтесь сейчас: Центр тяжести и момент инерцииБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.