Гидростатическое давление: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: сила давления жидкости · центр давления · давление на плоскую стенку

Бесплатные задачи по теме Гидростатическое давление с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: вертикальная стенка, погружённый затвор, центр давления.

Бесплатная задачаЛёгкая
h = 3 m

Вода глубиной 3 m давит на вертикальную стенку. Найдите высоту ȳ над основанием, на которой действует равнодействующая.

h = 3 mb = 4 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
m
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Гидростатическое давлениеЗанимайтесь сейчас: Гидростатическое давлениеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаявертикальная стенка
  2. Средняяпогружённый затвор
  3. Сложнаяцентр давления

Основные формулы

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Изучите тему «Гидростатическое давление» с нуля

1Что такое гидростатическая сила

Неподвижная вода давит на каждую поверхность, которой касается: стенку резервуара, плотину, затвор шлюза. Это давление — гидростатическая сила.

Чем глубже вы погружаетесь, тем сильнее давит вода. Вы чувствуете это ушами, когда ныряете на дно бассейна.

Давление на глубине h под свободной поверхностью — это вес столба воды над одним квадратным метром:

p = ρ · g · h

ρ — плотность (1000 kg/m³ для пресной воды), g = 9,81 m/s². При h в метрах p получается в Pa (N/m²). Разделите на 1000, чтобы получить kPa.

Давление действует под прямым углом к поверхности. Оно не зависит от формы или ширины резервуара, только от глубины.

Самопроверка Каково давление воды на глубине 5 m под поверхностью озера? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 24,5 kPa
  2. 49,05 kPa
  3. 5 kPa
  4. 98,1 kPa

Ответ: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. Если опустить g, получится 5 kPa — это масса на площадь, а не давление.

2Сила давления на вертикальную стенку

На вертикальной стенке давление растёт линейно от нуля на поверхности до ρgh у дна. Нагрузка на стенку имеет форму треугольника.

h = 3 mF

Полная сила равна площади этого треугольника, умноженной на ширину b стенки:

F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b

Сила действует через центр тяжести треугольника, на одну треть высоты выше основания:

ȳ = h / 3 (от основания)

То есть сила действует ниже середины стенки. Это логично: нижняя часть испытывает наибольшее давление.

Самопроверка Вода глубиной 2 m стоит у вертикальной стенки шириной 1 m. Чему равна равнодействующая сила? (ρg = 9810 N/m³)
  1. 19,62 kN
  2. 39,24 kN
  3. 4 kN
  4. 9,81 kN

Ответ: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. Использование давления у дна для всей стенки (39,24 kN) забывает про ½: наверху давление равно нулю.

3Погружённые затворы и центр давления

Затвор глубоко в стенке резервуара не начинается у поверхности. Для любой плоской поверхности сила равна давлению в её центре тяжести, умноженному на её площадь:

F = ρ · g · yc · A

yc — глубина центра тяжести. Для прямоугольного затвора высотой H, верхний край которого находится на d ниже поверхности, yc = d + H/2 и A = H·b.

Сила действует не в центре тяжести. Она действует чуть ниже, в центре давления, потому что нижняя часть затвора испытывает большее давление:

ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12

Ic — момент инерции сечения затвора относительно его собственного центра тяжести. Чем глубже затвор, тем ближе ycp к yc.

Для стенки, начинающейся у поверхности (d = 0), получается ycp = 2h/3 под поверхностью, то есть h/3 над основанием.

4Метод по шагам

  1. Нарисуйте поверхность и отметьте её глубину под свободной поверхностью: верхний край d и высота H (или глубина h для стенки).
  2. Найдите глубину центра тяжести yc и площадь A.
  3. Используйте плотность жидкости из условия: вода 1000, морская вода 1025, масло 880 kg/m³.
  4. Сила: F = ρ·g·yc·A. Разделите на 1000, чтобы получить kN.
  5. Если спрашивают линию действия: ycp = yc + Ic/(yc·A), отсчитываемую вниз от свободной поверхности.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m и высотой 2 m расположен в стенке резервуара с водой, его верхний край находится на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую гидростатическую силу F на затвор.

1

Посмотрите на затвор

d = 1 mH = 2 m

Затвор простирается от 1 m до 3 m под поверхностью. Его ширина в направлении, перпендикулярном рисунку, равна b = 2 m.

2

Глубина центра тяжести

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
3

Площадь

A = H · b = 2 · 2 = 4 m²
4

Давление в центре тяжести

pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5

Равнодействующая сила

F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6

Проверьте ответ

d = 1 mH = 2 mF

Давление равно 9,81 kPa у верхнего края и 29,43 kPa у нижнего края. Их среднее — 19,62 kPa, поэтому сила снова равна 19,62 · 4 = 78,48 kN.

Ответ

F = 78,48 kN, действует горизонтально на затвор.

6Типичные ошибки

  • Помещать силу в центр тяжести. Она действует ниже: на h/3 выше основания для стенки, в ycp для затвора.
  • Отсчитывать ȳ от поверхности, когда спрашивают высоту над основанием, или наоборот.
  • Использовать глубину верхнего или нижнего края вместо глубины центра тяжести.
  • Забывать ½ для стенки, которая начинается у поверхности.
  • Опускать g или использовать плотность воды для масла или морской воды.
Самопроверка Вода глубиной 6 m стоит у вертикальной стенки. Где действует равнодействующая сила?
  1. На 2 m выше основания
  2. На 2 m ниже поверхности
  3. На 3 m выше основания
  4. На 4 m выше основания

Ответ: На 2 m выше основания. Треугольная нагрузка действует через свой центр тяжести, h/3 = 2 m выше основания. 3 m — середина стенки, где сила действовала бы только при равномерном давлении.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: вода у вертикальной стенки от поверхности вниз. Найдите F = ½ρgh²b или высоту ȳ = h/3 над основанием.
  • Средняя: погружённый прямоугольный затвор в воде. Найдите F = ρg·yc·A, как в примере.
  • Сложная: тот же затвор в масле, морской воде или глицерине, а иногда глубина центра давления ycp.

Для затвора из примера: Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, поэтому ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m под поверхностью. Это на 0,167 m ниже центра тяжести.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
h = 4 m

Вода глубиной 4 m давит на вертикальную стенку. Найдите высоту ȳ над основанием, на которой действует равнодействующая.

h = 4 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Найти: ȳ (m)

Показать подсказки
  1. Давление в покоящейся жидкости p = ρ·g·z.
  2. Эпюра давления на стенку — треугольник. F равна его площади, умноженной на ширину; она проходит через его центр тяжести.
  3. Давление у основания — 39,24 kPa.
Показать ответ и пошаговое решение

Сила гидростатического давления: на плоскую поверхность F = ρ·g·yc·A, где yc — глубина центра тяжести. Она действует ниже центра тяжести, в центре давления.

h = 4 mF

Давление линейно растёт с глубиной

p = ρ·g·z, от нуля на поверхности до ρ·g·h на дне, поэтому нагрузка на стенку треугольная.

pbase = ρgh = 1000·9,81·4 = 39,24 kPa

Линия действия

Треугольная нагрузка действует в центре тяжести, на трети высоты от основания
ȳ = h/3 = 4/3 = 1,333 m над основанием

Ответ

ȳ = 1,333 m
Пример 2Средняя
затворd = 4 mH = 1,5 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Найти: F (kN)

Показать подсказки
  1. Для плоской поверхности F = ρ·g·yc·A, где yc — глубина центра тяжести затвора.
  2. Центр тяжести прямоугольника — на половине высоты: yc = d + H/2.
  3. yc = 4,75 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
затворd = 4 mH = 1,5 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

Ответ

F = 209,7 kN
Пример 3Сложная
затворd = 2 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

Найти: ycp (m)

Показать подсказки
  1. Для плоской поверхности F = ρ·g·yc·A, где yc — глубина центра тяжести затвора.
  2. Используйте ycp = yc + Ic/(yc·A), где Ic = bH³/12.
  3. yc = 3 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
затворd = 2 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Ответ

ycp = 3,111 m

Вопросы и ответы

Гидростатическое давление: что это?

Неподвижная вода давит на каждую поверхность, которой касается: стенку резервуара, плотину, затвор шлюза. Это давление — гидростатическая сила.

Чем глубже вы погружаетесь, тем сильнее давит вода. Вы чувствуете это ушами, когда ныряете на дно бассейна.

Гидростатическое давление: как решать задачи шаг за шагом?

Сила гидростатического давления: на плоскую поверхность F = ρ·g·yc·A, где yc — глубина центра тяжести. Она действует ниже центра тяжести, в центре давления.

Гидростатическое давление: что вы тренируете?
  • Лёгкая: вертикальная стенка
  • Средняя: погружённый затвор
  • Сложная: центр давления

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Неразрывность и Бернулли

Калькуляторы

Калькулятор плотности (масса, объём и плотность)

Курсы с этой темой

Механика жидкостиФизика для инженеровГеотехникаГидравлика и гидротехникаПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий моментФерма: метод вырезания узловПрогиб балкиЦентр тяжести и момент инерцииУстойчивость колоннЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаТечение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Гидростатическое давление: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Гидростатическое давлениеЗанимайтесь сейчас: Гидростатическое давлениеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.