Прогиб балки: задачи с пошаговыми решениями

Q: Прогиб балки: как решать задачи шаг за шагом?

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Q: Прогиб балки: что вы тренируете?

Лёгкая: консоль, сила на конце Средняя: равномерная нагрузка Сложная: суперпозиция и проектирование В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Другие названия: прогибы балок · метод начальных параметров · интеграл Мора

Бесплатные задачи по теме Прогиб балки с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: консоль, сила на конце, равномерная нагрузка, суперпозиция и проектирование.

Бесплатная задачаЛёгкая

Консоль нагружена сосредоточенной силой P на свободном конце. Найдите прогиб δ свободного конца.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

Следующая задача →

Занимайтесь бесплатно: Прогиб балки Занимайтесь сейчас: Прогиб балкиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

Лёгкаяконсоль, сила на конце
Средняяравномерная нагрузка
Сложнаясуперпозиция и проектирование

Основные формулы

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Изучите тему «Прогиб балки» с нуля

Перед этим: Поперечная сила и изгибающий момент, Центр тяжести и момент инерции

1Что такое прогиб

Каждая балка немного изгибается под нагрузкой. Расстояние, на которое точка балки смещается вниз, — это её прогиб δ, обычно в mm.

Балка может быть достаточно прочной и всё же прогибаться слишком сильно. Тогда полы пружинят, штукатурка трескается, а двери заедают. Типичное ограничение для перекрытий — пролёт/360: перекрытие пролётом 3,6 m может прогибаться не более чем на 10 mm.

Насколько прогибается балка, зависит от четырёх факторов:

нагрузки: при вдвое большей нагрузке прогиб вдвое больше;
пролёта: прогиб очень быстро растёт с длиной (L³ или L⁴);
модуля Юнга материала E: более жёсткий материал прогибается меньше;
момента инерции сечения I: более высокое сечение прогибается меньше.

E и I всегда входят вместе как произведение EI, изгибная жёсткость балки.

Самопроверка Вы заменяете балку другой, с вдвое большим моментом инерции сечения I. Всё остальное остаётся прежним. Что происходит с прогибом?

Не меняется
Он становится в четыре раза меньше
Она удваивается
Она уменьшается вдвое

Ответ: Она уменьшается вдвое. Прогиб обратно пропорционален EI. Удвоение I уменьшает δ вдвое.

2Стандартные формулы

Прогибы получают двукратным интегрированием изгибающего момента, но для распространённых случаев результат табулирован. Четыре случая покрывают большинство вопросов:

Консоль, сосредоточенная сила P на свободном конце: δ = P·L³ / (3·E·I)
Консоль, равномерно распределённая нагрузка w по всей длине: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Свободно опёртая балка, сосредоточенная сила P посередине пролёта: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Свободно опёртая балка, равномерно распределённая нагрузка w по всему пролёту: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

У консоли наибольший прогиб на свободном конце; у свободно опёртой балки с симметричными нагрузками — в середине пролёта.

Когда на балку действует несколько нагрузок, прогибы от каждой нагрузки в отдельности складываются. Это принцип суперпозиции.

Самопроверка У консоли с нагрузкой на конце прогиб конца составляет 2 mm. Консоль делают вдвое длиннее. Каким становится новый прогиб?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Ответ: 16 mm. δ пропорционален L³, поэтому удвоение L умножает δ на 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm получается, если считать зависимость линейной; 32 mm использует L⁴, то есть случай с распределённой нагрузкой.

3Единицы: работайте в N и mm

Формулы работают только при согласованных единицах. Безопасный выбор — ньютоны и миллиметры:

P в N: kN × 1000.
w в N/mm: 1 kN/m равен ровно 1 N/mm.
L в mm: m × 1000.
E в N/mm²: GPa × 1000. Сталь: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I в mm⁴: «36 × 10⁶ mm⁴» означает 36 000 000 mm⁴.

Тогда прогиб получается в mm. Поскольку L возводится в третью или четвёртую степень, числа получаются большими. Калькулятор со степенями десяти помогает держать их под контролем.

Самопроверка Балка сделана из стали, E = 200 GPa. Какое значение E вы используете в N и mm?

0,2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Ответ: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², поэтому 200 GPa = 200 000 N/mm². Если взять 200, прогиб получится в 1000 раз больше.

4Метод по шагам

Определите случай: консоль или свободно опёртая балка, сосредоточенная сила или распределённая нагрузка.
Переведите P, w, L, E и I в N и mm.
Выберите подходящую формулу.
Вычислите δ в mm.
Для нескольких нагрузок: вычислите каждую по отдельности и сложите.
Для задачи проектирования: приравняйте δ к допустимому значению (например, L/360) и решите относительно I.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Стальная консоль (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) имеет длину 3 m и несёт сосредоточенную силу 8 kN на свободном конце. Найдите прогиб на свободном конце.

Определите случай

Консоль с сосредоточенной силой на свободном конце: δ = PL³/(3EI).

Переведите в N и mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Изгибная жёсткость

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб конца

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm

Проверьте ответ

10 mm на консоли длиной 3 m — это L/300. Это реалистичная величина для нагруженной стальной балки: не доли миллиметра и не десятки сантиметров.

Ответ

Свободный конец прогибается на δ = 10 mm.

6Типичные ошибки

Смешивать единицы: L в метрах с E в N/mm² даёт бессмыслицу. Сначала переведите всё в N и mm.
Оставлять E в GPa, из-за чего δ получается в 1000 раз больше.
Использовать не тот случай, например PL³/(48EI) для консоли. Проверьте опоры и тип нагрузки.
Забывать 5 в 5wL⁴/(384EI).
При суперпозиции использовать для каждой нагрузки свою формулу, но забыть одну из нагрузок.

Самопроверка Свободно опёртая балка несёт сосредоточенную силу посередине пролёта, которая сама по себе даёт 4 mm, и равномерно распределённую нагрузку, которая сама по себе даёт 6 mm. Каков прогиб в середине пролёта?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Ответ: 10 mm. По суперпозиции прогибы от каждой нагрузки складываются: 4 + 6 = 10 mm. Взять только больший, разность или произведение — всё это неверно.

7Как выглядят экзаменационные задачи

Лёгкая: консоль с нагрузкой на конце. Найдите δ = PL³/(3EI). Варианты: свободно опёртая балка с центральной силой, угол наклона на конце или нагрузка, которая даёт заданный прогиб.
Средняя: равномерная нагрузка. Консоль (wL⁴/8EI) или свободно опёртая балка (5wL⁴/384EI). Варианты: нагрузки вне центра и углы наклона на концах.
Сложная: суперпозиция и проектирование. Сложите прогибы от сосредоточенной силы и равномерной нагрузки либо найдите наименьшее I, при котором δ остаётся ниже L/360.

Для задачи проектирования: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), где δ_allow = L/360.

Изучайте шаг за шагом в приложении Изучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. Найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Найти: δ_max (mm)

Показать подсказки

Для шарнирно опёртой балки с сосредоточенной силой в середине прогиб в середине пролёта δ = PL³/(48EI).
Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.
EI = 2,4 × 10¹² N·mm².

Показать ответ и пошаговое решение

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Ответ

δ_max = 10,56 mm

Пример 2Средняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Найти: δ_B (mm)

Показать подсказки

Участок между A и силой работает как консоль длиной a с силой на конце: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
За силой момента нет, поэтому эта часть остаётся прямой: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².

Показать ответ и пошаговое решение

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Ответ

δ_B = 16,51 mm

Пример 3Сложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

Найти: h_req (mm)

Показать подсказки

Приравняйте прогиб в середине пролёта 5wL⁴/(384EI) к предельному значению и найдите требуемый I.
Затем используйте I = bh³/12 для прямоугольника и найдите h.
I_req = 4,602 × 10⁷ mm⁴.

Показать ответ и пошаговое решение

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,602 × 10⁷/100)^1/3 = 176,8 mm

Ответ

h_req = 176,8 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

Вопросы и ответы

Прогиб балки: что это?

Прогиб балки: как решать задачи шаг за шагом?

Прогиб балки: какие ошибки самые частые?

PL³/(3EI) — это консоль с силой на конце. Шарнирно опёртая балка с силой в середине прогибается на PL³/(48EI).
Коэффициент 5/384 относится к равномерной нагрузке (с wL⁴). Для сосредоточенной силы в середине используйте 1/48.
Это прогиб под силой. За силой балка остаётся прямой, но наклонённой, поэтому прибавьте θ·(L − a).

Прогиб балки: что вы тренируете?

Лёгкая: консоль, сила на конце
Средняя: равномерная нагрузка
Сложная: суперпозиция и проектирование

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Поперечная сила и изгибающий момент Центр тяжести и момент инерции

Калькуляторы

Калькулятор прогиба балки

Курсы с этой темой

Сопротивление материалов Строительная механика Подготовка к экзамену FE Mechanical Подготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий момент Ферма: метод вырезания узлов Центр тяжести и момент инерции Устойчивость колонн Эффективное напряжение в грунте Консолидационная осадка Гидростатическое давление Течение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Прогиб балки: лист заданий с ответами